Satz von Lagrange, Untergruppe Ordnung 6 von Z_12

Question

Aufgabe:

"Die kleinste Gruppe, welche dies verdeutlicht, ist die Gruppe A_4. A_4 hat 12 Elemente, aber keine Untergruppe der Ordnung 6." https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Lagrange

Problem/Ansatz:

Auf Wikipedia haben ich das bei Satz von Lagrange gelesen und verstehe das nicht ganz. Ist A_4 das gleiche wie ℤ_12 ?

Ich weiß, dass die Ordnung der Untergruppe ein Teiler von der Ordnung der Gruppe ist.

Ich habe überlegt und finde aber zu A_4 eine Untergruppe mit der Ordnung 6.

6 = {0,2,4,6,8,10}

Zur Ordnung 1 habe ich {0}

Zur Ordnung 2 habe ich {0,6}

Ordnung 3 {0,4,8}

Ordnung 12 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}

hmmm....was übersehe ich?

Answer 1

Ist A_4 das gleiche wie ℤ_12

Nein. \(A_4\) besteht aus den geraden Permutationen von \(S_4\). Zum Beispiel sind

         \(a = (1\ 2)(3\ 4)\)

und

        \(d_1 = (2\ 4)(4\ 3)\)

Elemente von \(A_4\) und es ist

        \(a\cdot d_1\neq d_1\cdot a\).

Also ist \(A_4\) nicht kommutativ. Die \(\mathbb{Z}_{12}\) ist dagegen kommutativ.

finde aber zu A_4 eine Untergruppe mit der Ordnung 6. 6 = {0,2,4,6,8,10}

Ich weiß nicht, welche Permutation das sein sollen.

Comments

Okey, dann habe ich da was verwechselt, aber gäbe es dann zu Z_12 mit der Verknüpfung + eine Untergruppe mit der Ordnung 6? Wie oben geschrieben.

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Hat sich geklärt.

Answer 2

Angenommen, \(U\) wäre eine 6-elementige Untergruppe von \(A_4\).

Da ihr Index \((A_4:U)=2\)  wäre, wäre \(U\) ein Normalteiler von \(A_4\),

würde also mit jedem Element auch alle seine Konjugierten enthalten.

\(A_4\) besitzt 8 Dreierzykeln. Diese können nicht alle außerhalb von \(U\)

liegen. Es muss also einen 3-Zykel in \(U\) geben: o.B.d.A. sei \((1\;2\;3)\in U\).

Mit \(a=(1\;2)(3\;4)\) bekommt man dann \(a(1\;2\;3)a^{-1}=(2\;1\;4)\in U\).

Spielt man das mit den anderen beiden 2-Zykelpaaren durch

und bedenkt, dass die Quadrate der erzeugten 3-Zykel ebenfalls in \(U\) liegen

müssen, erkennt man, dass alle 8 3-Zykeln in \(U\) liegen müssen,

Widerspruch !

Comments

okey, dann habe ich etwas verwechselt.