Bestimmen Sie die Höhe h(α) des Rechtecks, wenn es um den Winkel α gedreht ist

Question

Aufgabe:

Welche Breite D muss ein Streifen R × [0, D] mindestens haben, damit man ein Rechteck mit
Seitenlängen a, b > 0 darin um 360◦ drehen kann, ohne dass es über den Rand des Streifens ragt?
Gehen Sie dazu so vor:
a) Bestimmen Sie die Höhe h(α) des Rechtecks, wenn es um den Winkel α gedreht . Da sich die Werte nach π/2 wiederholen, genügt es,  α ∈ [0, π/2] zu betrachten.
b) Zeigen Sie, dass h auf [0, π/2] ein Maximum annimmt und bestimmen Sie dessen Wert.

Problem/Ansatz:

Ich versteh gar nicht wie ich an die UAfgabe rangehen soll und wie man das ganze auch berechnen soll. Wäre über eine Lösung mit erklärung sehr dankbar

Comments

Die Höhe eines Rechtecks ist immer die gleiche. Drehen elementargeometrisch hat nichts damit zu tun.

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aber die höhe verändert siich doch weil die eine seite vom rechteck doch länger ist als die andere

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Hilft Dir dies zum Verständnis der Aufgabe?

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ALso müsste der streifen auf jeden fall die höhe von der diagonalen seite haben. Wie würde ich das korrekt mathematisch aufschreibem

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@ Werner: Schöne Animation. Aber der Begriff "Höhe eines Rechtecks" erhält hier die Bedeutung: "größte Ausdehnung in einer festgelegten Richtung". Das steht aber nicht im Aufgabentext.

@mathestudentin: h(α)=\( \sqrt{a^2+b^2} \)·sin(α), wobei a und b die Seitenlängen des Dreiecks sind. α muss allerdings noch Phasenverschoben werden.

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ALso müsste der streifen auf jeden fall die höhe von der diagonalen seite haben.

Ja!

Wie würde ich das korrekt mathematisch aufschreibem

$$h_{\max} = \sqrt{a^2+b^2}$$(Satz des Pythagoras) das wäre dann auch die Antwort auf die erste Frage, aber es ist nach der Funktion \(h(\alpha)\) gefragt.

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h(α)= \( \sqrt{a^2+b^2} \)* sin (α)?

@mathestudentin: h(α)=\( \sqrt{a^2+b^2} \)·sin(α), wobei a und b die Seitenlängen des Dreiecks sind. α muss allerdings noch Phasenverschoben werden.

Was meinst du mit Phasenverschiebung

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Habe meinen Kommentar noch nachgebessert.

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h(α)=\( \sqrt{a^2+b^2} \)·sin(α), wobei a und b die Seitenlängen des Dreiecks sind. α muss allerdings noch Phasenverschoben werden.

die Phasenverschiebung wäre \(\arctan(b/a)\) - also zusammen:$$h(\alpha) = \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sin\left(\alpha + \arctan\left(\frac ba\right)\right), \quad \alpha \in\left[0;\, \frac{\pi}2\right]$$... das geht aber deutlich einfacher!

mein Vorschlag:$$h(\alpha)= a\sin(\alpha) + b\cos(\alpha), \quad \alpha \in\left[0;\, \frac{\pi}2\right]\\ \frac{\text dh}{\text d\alpha} = a\cos(\alpha) - b\sin(\alpha) \to 0 \\\implies \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac ab \implies \alpha_{\max} = \arctan\left(\frac ab\right)$$

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Wie würde ich darauf kommen das es arctan ist ?

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Wie würde ich darauf kommen das es arctan ist ?

Wenn Du noch nie was von Trigonometrie gehört hast, dann gar nicht!

Wenn Du dagegen die Mathematik der Mittelstufe eines Gymnasiums erfolgreich hinter Dich gebracht hast, sollte das ohne weitere Erklärung klar sein. Grundsätzlich gilt$$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)$$und hier im speziellen ist es so:$$\begin{aligned} a\cos(\alpha) - b\sin(\alpha) &=0&&|\,+b \sin(\alpha)\\a\cos(\alpha) &= b\sin(\alpha) &&|\,\div b \\ \frac ab\cos(\alpha)&= \sin(\alpha) &&|\,\div\cos(\alpha)\\ \frac ab&=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\\\frac ab &= \tan(\alpha)&&|\, \arctan\\\arctan\left(\frac ab\right)&= \alpha\end{aligned}$$Arkustangens ist die Umkehrfunktion des Tangens, daher ist \(\arctan(\tan(\alpha)) = \alpha\) mit der Einschränkung \(\alpha \in(-\pi/2;\,+\pi/2)\).