die Frage lautet : Um welchen Winkel werden Vektoren durch die Matrix Dα gedreht?

Question

Aufgabe:

gegeben ist diese Drehmatrix :

Dα =   0, 866     −0, 5

             0, 5        0, 866

Problem/Ansatz

die Frage lautet :  Um welchen Winkel werden Vektoren durch die Matrix Dα gedreht?

ich weiss nicht wie soll ich Winkel bestimmen !! ist es richtig also eifach mit Taschenrechner Arccos (0, 866) den Winkel zu bestimmen ??

Answer 1

Eine Drehmatrix um den Winkel α ist gegeben durch

\( \begin{pmatrix} cos(α) & -sin(α) \\ sin(α) & cos(α) \end{pmatrix} \)

α = arccos(0.866) oder α = arcsin(0.5) = 30 °

Answer 2

Der ARCCOS und der ARCSIN geben bis zu 3 Lösungen im Intervall von 0 bis 360 Grad. Daher muss man sowohl den ARCSIN als auch den ARCCOS berechnen bzw. mit den zwei Winkeln vom ARCCOS nochmal die Probe machen

COS(α) = 0.866 --> α = 30.00° ∨ α = 330.00°

SIN(α) = 0.5 --> α = 30° ∨ α = 150°

Daher ist der Drehwinkel α = 30°.

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Einträge in der Matrix sind die Bilder der Basisvektoren. Das heißt:

$$\binom{1}{0}\to\binom{0,866}{0,5}\quad;\quad\binom{0}{1}\to\binom{-0,5}{0,866}$$

An \(\binom{1}{0}\) erkennt man, dass der Vektor die Länge \(1\) hat und vor der Drehung komplett auf der \(x\)-Achse liegt. Nach der Drehung ist die Projektion dieses Vektors auf die \(x\)-Achse nur noch \(0,866\) Einheiten lang, d.h.$$1\cdot\cos\alpha=0,866\implies\alpha=\arccos(0,866)=30^\circ$$An der Drehung des Vektors \(\binom{0}{1}\) erkennt man, dass der Drehsinn entgegen dem Uhrzeigersinn ortientiert ist.