Um wieviel Grad ist das neue Koordinatensystem gegenüber dem ursprünglichen gedreht?

Question

Aufgabe:

Führen Sie die Hauptachsentransformation für die quadratische Form

Q (\( \vec{x} \) ) = 1/6 x₁² + 1/3 x₁ x₂ - 1/12 x₂²

durch. Um wieviel Grad ist das neue Koordinatensystem gegenüber dem ursprünglichen gedreht? Skizzieren Sie die Punktmenge Q(\( \vec{x} \) ) = 1.

Comments

Hallo,

ist Dir klar, dass

$$Q(x)=\frac{1}{12} x^T \begin{pmatrix}2&2\\2&-1\end{pmatrix}x$$

gilt und Du demnach die Eigenwerte und Eigenvektoren zu diese Matrix bestimmen musst?

Gruß Mathhilf

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Hallo

du musst schon sagen, was an der Hauptachsentransformation du nicht kannst, da das eigentlich ein übliches Verfahren ist. Das Wesentliche hat dir Mathhilf ja schon geschrieben

lul

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hallo, ich hab leider das nie gemacht, wäre nett wie soll ich das machen?

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Hallo

dann ist es Zeit es zu lernen, sieh in deinem Skript oder in wiki oder im Netz nach Die Aufgabe wird doch nicht gestellt, ohne dass es im Unterricht bzw, Vorlesung vorkam?

lul

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hallo, ich hab leider das nie gemacht, wäre nett wie soll ich das machen?

Du könntest

- meine Frage beantworten, ob Dir meine Umformung klar ist

- die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen

Oder einfach die Lösung von Wächter goutieren.

Gruß Mathhilf

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Um wieviel Grad ist das neue Koordinatensystem gegenüber dem ursprünglichen gedreht? Skizzieren Sie die Punktmenge Q(\( \vec{x} \)

Diese Frage verstehe ich nicht ganz? Wie kann ich die Lösen?

Answer 1

Die Matrix hast du ja jetzt bekommen

$$ A=\begin{pmatrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{6}&\frac{-1}{12}\end{pmatrix}$$

char. Polynom ist  det(A-x) = x^2 -x/12 -1/24 und das hat die Nullstellen -1/6 und 1/4.

Eigenvektoren dazu sind z.B. \(  \begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix}  \) und \(  \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}  \)

Also ist der Drehwinkel tan^(-1)(0,5)≈26,6°.

Comments

vielen Dank wie bekommt man aus der gleichung diese Matrix?

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Um wieviel Grad ist das neue Koordinatensystem gegenüber dem ursprünglichen gedreht? Skizzieren Sie die Punktmenge Q(\( \vec{x} \)

wie könnte ich diese Lösen?

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Der erste Basisvektor des neuen Koordinatensystems ist

2
1

der ist gegen über dem "alten" , der war ja

1
0

um α mit tan(α) = 1/2 gedreht.

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wie erkenntst du die 1/2 = tan alpha ???

rechnerisch??

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wie erkenntst du die 1/2 = tan alpha ???

indem Du es Dir einfach mal aufzeichnest!

Die rote Vektoren sind die Eigenvektoren der besagten Matrix. Sei geben das Hauptachsensystem vor. Und dies ist um den grün markierten Winkel \(\alpha\) gegenüber dem Koordinatensystem verdreht. Daher$$\tan \alpha =\frac{e_y}{e_x} = \frac 12, \quad \vec e = \begin{pmatrix} 2\\ 1\end{pmatrix}$$Bem.: \(\tan \alpha = 2 \div (-1)\) wäre genauso richtig. Kommt drauf an, was man als 'ursprünglich' definiert.

Answer 2

Unter https://www.geogebra.org/m/jybmgrce

findest Du eine app zur HAT

Je nach Hauptachsenlage gibt es verschiedene Drehungen (Anordnung der Eigenvektoren für eine Drehung) .z.B.

Vergleiche die Drehmatrix S mit einer Rotationsmatrix ...