Drehmatrix um den Winkel α und invertierbarkeit

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

. Für \( \alpha \in \mathbb{R} \) betrachten wir die Drehmatrix um den Winkel \( \alpha \)
\( R_{\alpha}:=\left(\begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right) . \)
(i) Zeigen Sie, dass \( R_{\alpha} \) invertierbar ist und berechnen Sie \( \operatorname{det}\left(R_{\alpha}\right) \), sowie \( R_{\alpha}^{-1} \).
(ii) Zeigen Sie, dass \( \mathbb{R} \rightarrow G L_{2}(\mathbb{R}), \alpha \mapsto R_{\alpha} \) ein Gruppenhomomorphismus ist.

Problem/Ansatz:

Hallo, diese Aufgabe verwirrt mich ziemlich, da ich nicht weiß wie ich mit sin und cos umgehen muss, wäre toll wenn ein paar kluge Leute beim lösen helfen könnten

Comments

Es ginge insbesondere um die ii) Wäre toll wenn das jemand erklären könnte

Answer 1

Zeige \(\left(\begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right) \cdot  \left(\begin{array}{cc} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)   \)

ergibt die Einheitsmatrix. Bedenke \(   \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\)

Damit bekommst du auch det=1.

Comments

Also am besten zeigen, dass sie orthogal ist, denn dann ist die inverse Matrix gleich der Transponierten, richtig?