0 Daumen
1,4k Aufrufe

Aufgabe:

Geben Sie eine Drehmatrix an, die den Vektor

\( a = \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \)

in den Vektor

\( b = \begin{pmatrix} \frac{5}{13} \\ -\frac{12}{13} \end{pmatrix} \)

überführt. Bestimmen Sie den Winkel der dazugehörigen Drehung.


Problem/Ansatz:

Ich habe den Vektor a mit der Drehmatrix R

cos(α)
-sin (α)
sin (α)
cos (α)

multipliziert und mit dem Vektor b "gleichgesetzt", da der Vektor b ja quasi das Ergebnis ist. Damit kriegt man 2 Gleichungen.

1. 0*cos(α) - sin(α)   = \( \frac{5}{13} \)

2. 0*sin(α) + cos(α)  = \( \frac{-12}{13} \)

Leider kommen für α 2 verschieden Zahlen raus.

Bei der ersten Gleichung -sin(α) =\( \frac{5}{13} \) hab ich so durch -sin\( ^{-1} \) (\( \frac{5}{13} \)) den Winkel rausbekommen -22.6198.

Wenn ich das in die 2. Gleichung cos(α) = \( \frac{-12}{13} \) einsetze kommt aber nicht \( \frac{-12}{13} \) raus sondern \( \frac{12}{13} \).

Ist mein Ansatz fundamental falsch oder welchen Fehler mache ich hier? In der Vorlesung wurde dieses Thema leider nicht wirklich angeschnitten.

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

hallo

bei der Matrixmult. hast du einen Fehler gemacht; richtig cos(a)=5/13, sin(a)=-12/13

für arccos  findest du dann einen positiven Winkel mit dem TR aber da cos achsensym ist ist auch der negative eine Lösung, den sagt dein TR bei arcsin gleich.

(Wenn man den gedrehten Vektor etwa skizziert, sieht man auch direkt das deine 22° falsch sein müssen.

es sei denn du hast dich vertippt und es geht um die Drehung von (0,1) statt (1,0)

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Hab mich vertippt sollte (0,1) heissen ...

Hallo

dann ist deine Rechnung richtig aber da der sin 1. periodisch ist und 2.  zu 90° und -90° symmetrisch musst du immer  beide Werte ansehen , also auch -180°+ 22,.. =-157,..

cos ist sym zu 0 also  hast du den Winkel +157 und -157sind Möglichkeiten. wieder ist eine Skizze nützlich, die direkt zeigt, der Winkel muss deutlich größer als -90° sein.

So ne ungefähre Skizze Dauer 2s und hilft viele Fehler vermeiden.

Ausserdem solltest du dich damit vertraut machen dass der TR immer nur einen "Hauptwert" der Architekt Funktionen liefert und du die anderen daraus ablesen lernen musst.

Gruß lul

Ja Skizzen würden die Fehlerrate bei Matheaufgaben deutlich senken! Danke für deine Zeit, ich werde mir die Tipps auf jeden Fall merken.

0 Daumen

[c, -s; s, c]·[1; 0] = [5/13; - 12/13] hat die Lösung c = 5/13 ∧ s = - 12/13

Damit lautet die Drehmatrix

D = [5/13, 12/13; - 12/13, 5/13]


Bestimmen Sie den Winkel der dazugehörigen Drehung

cos(α) = 5/13 ∧ sin(α) = - 12/13 --> α = 2·ATAN(1/5) - pi/2 = - 67.38°

Avatar von 487 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community