Wer hat recht und was ist "eurer Meinung nach" der Erwartungswert?

Question

Aufgabe:

Es geht um zwei exakt gleichstarke(!) Fußballteams (Team A und Team B) und dem Erwartungswert der gespielten Spiele, wenn das Team gewinnt, das zuerst drei Spiele für sich entscheiden kann.

Problem/Ansatz

Logischerweise können in so einem Spiel mindestens 3 Spiele (z.B. AAA) oder höchstens 5 Spiele (z.B. AABBA) gespielt werden. Also liegt der Erwartungswert irgendwo dazwischen. Ich befinde mich da gerade mit jemandem im Denkstreit was der richtige Ansatz ist und will das hiermit ein für allemal klären. :D Mein Denkstreitpartner sagt, dass die Wahrscheinlichkeit für AAA 1/8 ist und für AABA 1/16 usw. Ich sage das kann man hier nicht so machen und AAA hat in diesem fall dieselbe Wahrscheinlichkeit sie AABA nämlich 1/20. Ich will jetzt auch nicht zu viel vorwegnehmen. Wer hat recht und was ist "eurer Meinung nach" der Erwartungswert?

Answer 1

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Turnier nach 3 Spielen zu Ende ist, ist nicht 1/8, sondern 2/8. (AAA oder BBB).

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Turnier erst nach 5 Spiele zu Ende ist entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass es nach 4 Spielen 2.2 steht.

Der Rest ist Gegenereignis.

Comments

Wobei die Frage nach dem Erwartungswert noch nicht geklärt wäre. Es stehen 0,1*3+0,3*4+0,6*5=4,5 vs (2/8)*3+(3/8)*4+(3/8)*5=4,125 im raum. Was ist richtig?

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Sollte doch jetzt schonmal klar sein, dass der erste Ansatz nicht stimmt, da die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach 3 Spielen Ende ist 1/4 und nicht 1/10 beträgt.

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Bei gleichstarken Teams hat jedes die gleich Chance, die Sache für sich zu entscheiden.

E(A gewinnt 3 Spiele)=1/2

E(B gewinnt 3 Spiele)=1/2

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Zeuge Archimedes ist mein Diskussionspartner/Gegner. Könntest du uns sagen, welche der obigen Berechnungen zum Erwartungswert richtig ist Roland, damit diese Farce ein Ende nimmt. :D

Answer 2

Moin Mathenoob

du hast mich zum Nachdenken angeregt. Auf den ersten Blick würde ich jetzt sagen, dass dein Ansatz nicht funktioniert. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Team A oder Team B dreimal in Folge gewinnen ist jeweils 1/8 und nicht 1/20.

Aber ich schaue mir es später nochmal genau an.

LG

Answer 3

Aloha :)

Das Gewinner-Team sei A. Es gibt genau \(\binom{5}{3}=10\) Möglichkeiten, wie 3 Siege von A und 2 Siege von B kombiniert werden können. Sobald A drei Siege hat, finden allerdings keine weiteren Spiele mehr statt:

i) AAA

ii) AABA ABAA BAAA

iii) AABBA ABABA BAABA ABBAA BABAA BBAAA

Damit erhalten wir als Erwartungswert für die Anzahl der Spiele:$$\left<\text{Spiele}\right>=3\cdot\frac1{10}+4\cdot\frac{3}{10}+5\cdot\frac{6}{10}=4,5$$

Comments

Danke Tschakabumba. Damit hätte ich recht und Zeuge Archimedes möge bitte seinen Account löschen und sich nie wieder mit Mathematik beschäftigen! (Nur ein kleiner Scherz <3 U)

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Hallo Tschakabumba, das ist ja auch die Argumentation des Lehrers meiner Nachhilfeschülerin. Ich habe bei meinem Ansatz auch 20 mögliche Ausgänge, aber meiner Meinung nach sind diese nicht gleichwahrscheinlich. Dass A direkt drei Spiele gewinnt ist meiner Meinung nach nicht 1/20 sondern 1/8.

Ich brauche eine Begründung dafür, wieso P(AAA)=P(AABA) sein sollte.

Danke im Voraus!

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Richtig ist : 3*1/4 + 4*3/8 + 5*3/8  =  4,125

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Das kann schon deswegen nicht stimmen, weil sich die Wahrscheinlichkeiten nicht zu \(1\) addieren.

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1/4+3/8+3/8=1

Answer 4

Hallo,

hier ist noch eine Lösung, bzw ein Versuch, eine der Lösungen zu begründen. Um die Frage mit den Wahrscheinlichkeiten zu umgehen, betrachte ich einfach ein 5-Tupel aus A und B mit insgesamt 32 gleich-wahrscheinlichen Möglichkeiten. D.h. ich tue so, als ob einfache weitergespielt wird und erst am Ende geschaut wird, wer gewonnen hat.

Den einzelnen Ereignissen ordne ich als Zufallsvariable X die Anzahl der Spiele zu bis zur Entscheidung. Wir haben dann die 3 Fälle, wie sie Tschakakumba aufgezählt hat:

i) (AAA??), d.h. X=3. Davon gibt es 4 (für die beiden ?) und das ganze mal 2 wegen (BBB??). Also 8

ii) (AABA?) (ABAA?) (BAAA?), d.h. X=4. Davon gibt es jeweils 2 also insgesamt  3*2*2=12

iii) Alle mit 2 A und 2 B auf den ersten 4 Plätzen (6) und eine A oder B auf dem 5., d.h. X=5. Anzahl 12

Erwartungswert: (3*8+4*12+5*12)/32=4.125

Gruß Mathhilf

Comments

Das macht Sinn... Da habe ich wohl nicht ganz zu Ende gedacht.

Die Annahme, Team A sei der Gewinner war "nicht optimal", wie ein Politiker sagen würde ;)

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Verdammt. Also hatte ZeugeArchimedes doch recht mit seiner Lösung. Ich war da auf der Seite des besagten Mathegymnasiallehrers, aber scheinbar muss ich mir meine Niederlage gegen ZeugeArchimedes eingestehen und der Mathelehrer muss das seinen Schüler*innen nochmal anders erklären. :D so oder so, danke euch für eure Hilfe und zur endgültigen Klärung dieser Diskussion :) falls jedoch nochmal jemand anderer Meinung ist und meinen Ansatz von den Toten auferstehen lassen will, gerne her damit! :D