Taylorpolynom T2(x;0) bestimmen

Question

\(f: [-\frac{1}{2};1]\rightarrow R, x \rightarrow \frac{1}{\sqrt{1 + x}} \)

Bestimmen Sie das Taylorpolynom T₂(x;0) von f

Answer 1

Aloha :)

Die Taylor-Formel 2-ter Ordung für eine Funktion \(f(x)\) um den Entwicklungspunkt \(x_0\) lautet allgemein:$$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)+\frac12f''(x_0)\cdot(x-x_0)^2$$

Wir brauchen also Funktionswert und die ersten beiden Ableitungen an der Stelle \(x_0=0\):$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}=(1+x)^{-\frac12}\implies f(0)=1$$$$f'(x)=-\frac12(1+x)^{-\frac32}\implies f'(0)=-\frac12$$$$f''(x)=\frac34(1+x)^{-\frac52}\implies f''(0)=\frac34$$

Das setzen wir in die Taylor-Formel ein:$$f(x)\approx1+\left(-\frac12\right)\cdot(x-0)+\frac12\cdot\frac34\cdot(x-0)^2$$$$f(x)\approx1-\frac x2+\frac{3x^2}{8}$$

Comments

Danke für die Antwort, Ich glaube, ich habe es verstanden.

Ich habe noch eine Aufgabe, die mit der obigen Aufgabe zusammenhängt:

Bestätigen Sie mithilfe der Lagrange-Restglieddarstellung, dass f durch das in (a) bestimmte Taylorpolynom T₂(x; 0) auf dem Intervall [0; 1] bis auf einen Fehler von höchstens 5/16 approximiert wird. wie löse ich diese Aufgabe?

---

Zur Fehlerabschätzung musst du den ersten Term nach dem Abbruch der Taylorreihe betrachten. Wir haben nach dem 2-ten Term bei abgebrochen, also interessiert uns nun der dritte Term:$$\frac{1}{3!}f'''(\eta)\cdot(x-x_0)^3$$Beachte einen feinen Unterschied. Die Ableitung wird nun nicht mehr an der Stelle \(x_0\), sondern an einer Stelle \(\eta\) genommen. Dieses \(\eta\) muss zwischen \(x_0\) und \(x\) liegen und so gewählt werden, dass der Betrag des Term maximal wird. Das gibt dann den Fehler.

In diesem Fall hier ist:$$f'''(x)=-\frac{15}{8}(1+x)^{-\frac72}$$Das führt auf den Fehlerterm:$$-\frac{15}{3!\cdot8}\,\frac{1}{{(1+\eta)}^{\frac72}}\cdot(x-x_0)^3$$Das Intervall ist \(x\in[0|1]\) und \(x_0=0\). Wir wählen \(\eta=0\), weil der Nenner dafür minimal bzw. der Bruch maximal wird. Damit erhalten wir für \(x\in[0|1]\) als größten Fehler:$$\Delta f=\left|-\frac{15}{6\cdot8}\,\frac{1}{{(1+0)}^{\frac72}}\cdot(x-0)^3\right|=\frac{5}{16}\left|x^3\right|\quad;\quad x\in[0|1]$$Da \(x\in[0|1]\) liegt, ist also der maximale Fehler im betrachteten Intervall \(\frac{5}{16}\).