Vereinfachung von logischen Aussagen

Question

Aufgabe:

Vereinfachen Sie durch logische Umformung die folgenden Aussagen möglichst weit.

a) \( (x \rightarrow y) \wedge(\bar{y} \leftrightarrow x) \)

b) \( x \wedge(x \rightarrow(y \vee z)) \wedge((z \rightarrow y) \vee z) \wedge b \)

Problem/Ansatz:

Vielleicht kann jemand mir helfen mit dieser Aufgabe?

ich verliere mich immer mit der Umformung

Vielen Dank!

Answer 1

Aloha :)

Um Tipparbeit zu sparen verwende ich \(+\) für \(\lor\) und \(\cdot\) für \(\land\)...

Wir erinnern uns an: \(A\rightarrow B\equiv \overline A+B\) und \(A\leftrightarrow B\equiv A\,B+\overline A\,\overline B\).

$$(x\rightarrow y)\land(\overline y\leftrightarrow x)=(\overline x+y)\cdot(\overline y\,x+{\overline {\overline y}\,\overline x})=(\overline x+y)\cdot(\overline y\,x+y\,\overline x)$$$$\qquad=\overline x\,\overline y\,x+y\,\overline y\,x+\overline x\,y\,\overline x+y\,y\,\overline x=0+0+\overline x\,y+y\,\overline x=x\oplus y$$

$$x\land(x\rightarrow(y\lor z))\land((z\rightarrow y)\lor z)\land b=x\,(\overline x+(y+z))\overbrace{((\overline z+y)+z)}^{=1}\,b$$$$\qquad (x\,\overline x+x(y+z))\,b=x\,(y+z)\,b$$

Comments

Vielleicht Können Sie mir zeigen die äquivalenzumformung? A⇔B ?

ich weiss dass: A⇔B = (¬a∨b)∧(a∨¬b) . Wie kommen Sie zu (a∧b)∨(¬a∧¬b)?

Vielen Vielen Dank für die Hilfe!

---

Du kannst den dir bekannten Audruck einfach ausmultiplizieren:$$A\Longleftrightarrow B=\overbrace{(\overline A+B)(A+\overline B)}^{\text{hugint23}}=\underbrace{\overline A\,A}_{=0}+\overbrace{BA+\overline A\,\overline B}^{\text{Tschaka}}+\underbrace{B\,\overline B}_{=0}$$