Wie soll man bei einer Aufgabe vorgehen bei der man eine Basis finden soll, die ein Endomorphismus triagonalisiert?

Question

Wie soll man bei einer Aufgabe vorgehen bei der man eine Basis finden soll, die einen Endomorphismus triagonalisiert?

Zum Beispiel:

\(T:  M_{2x2}(\mathbb{C}) \rightarrow M_{2x2}(\mathbb{C}), X \mapsto XB - BX \)

\(\text{Für } B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Answer 1

Du brauchst ja eine f-invariante Fahne von Unterräumen.

Fange am besten mit dem Kern von T an. Der hat z.B.

die Basis \(  \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Wenn man das mit der Standardbasis vergleicht fehlt etwa \(  \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

Den bildet T ab auf \(  \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

also bilden die drei auch eine Basis eines f-invarianten Unterraumes.

Muss man nur noch zu einer Basis von M_2x2(ℂ) ergänzen, etwa durch

\(  \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \).

Dann hat T bzgl. dieser Basis

\(  \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}  \)

die Matrix

0   0  -2   1
0   0   1   0
0   0   0   0
0  0   0    0

Comments

Aber der Unterraum mit der Basis \( \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\) ist nicht f-invaraint.

Sei \(U = \langle \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} \rangle \)

Dann gilt

\(T  \bigg(a\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}+ b\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} +c\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} \bigg) = c T\bigg(\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} \bigg)  = c \begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix} \not \in U\).

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Oha, da hab ich nicht aufgepasst.