Potenziere das Produkt

Question

Aufgabe:$$\left( \frac{2x+3z}{a-b} \right)^3\cdot\left( \frac{2a-2b}{6x+9z} \right)^3$$

Problem/Ansatz:

Potenziere das Produkt.

Grundsätzlich gilt: Man potenziert das Produkt, indem man jeden Faktor potenziert.

(\( \frac{8x^3+27z^3}{a^3-b^3} \)) (\( \frac{8a^3-8b^3}{216x^3+729z^3} \))

Gemäß den Potenzgesetzen habe ich dieses getan.

\( \frac{64a³x³-64b³x³+216a³z³-216b³z³}{216a³x³+729a³z³-216b³x³-729b³z³} \)

Wenn ich die Potenzen gegeneinander kürze und die Zahlen verrechne komme ich auf ein Ergebnis von Null!

Leider lautet die Lösung jedoch \( \frac{8}{27} \)

Also gehe ich mal davon aus, dass ich irgendwas gravierend falsch mache. Leider kann ich nirgends eine Erklärung zu diesen Aufgabentyp finden, so dass ich mich an Euch wenden muss.

Ich weiß, dass das zu den absoluten Basics gehört, nichtsdestotrotz komme ich hier nicht weiter.

Danke im Voraus.

Comments

Danke für Eure Antworten. Ich bin an die Sache grundlegend falsch heran gegangen. LG

Answer 1

Hallo,

klammere zunächst aus und kürze dann.
\(\bigg(\frac{2x+3z}{a-b}\bigg)^3\cdot \bigg(\frac{2a-2b}{6x+9z}\bigg)^3\\ =\frac{(2x+3z)^3}{(a-b)^3}\cdot \frac{(2(a-b))^3}{(3(2x+3z))^3}\\ =\frac{1\cdot 2^3}{1\cdot 3^3}=\frac{8}{27}\)
Gruß, Silvia

Answer 2

Das war dann der schlimmste anzunehmende Lösungsweg.

Nutze besser a³*b³=(a*b)³.

Und bevor du multiplizierst: Schreibe 2a-2b als 2(a-b). Schreibe 6x+9z als 3(2x+3z).

Da deine vorgegebene Löung nur noch Zahlen und kein a, b, x, y enthält, muss sich wahnsinnig viel weggekurzt haben.

Erst nach dem Kürzen hoch 3 rechnen!

Answer 3

Faktorisieren:

(2a-2b)^3 = 2^3*(a-b)^3

(6x+9z)^3 = 3^3*(2x+3z)^3

Außerdem gilt:

a^3*b^3 = (ab)^3

Damit kann man schön kürzen.

Es bleibt übrig: (2/3)^3 = 8/27

Answer 4

Hallo,

du schreibst : Man potenziert das Produkt, indem man jeden Faktor potenziert., das ist richtig wenn mann Faktoren hat, in den Klammern steheh keine Faktoren, sondern es sind Additionen oder Subtraktionen, bedeutet hier müsam ausmultiplizieren.oder noch eine anderen Regel anwenden , bei gleichen Potenzen ...........

(\( \frac{(2x+3)*(2a-2b)}{(a-b)(6x+9z)} \) )³

nun das Distibutivgesetz einmal im Zähler und dann einmal im Nenner anwenden

(\( \frac{(2x+3)*2(a-b))}{(a-b)*3(2x+3z)} \) )³

nun kürzen

(\( \frac{2}{3} \) ) ³ , jetzt ausrechnen  \( \frac{8}{27} \)

Answer 5

Man potenziert das Produkt, indem man jeden Faktor potenziert.

Dort steht ja das magische Wort Faktor. D.h. es gilt schonmal nicht für Summen

(a + b)^2 ≠ a^2 + b^2

Das wusste schon der "Herr Binom", der die berühmten binomischen Formeln erfunden hatte.