berechne die 1. Ableitung von der folgenden Funktion (Kettenregel?)

Question

Aufgabe: berechne die 1. Ableitung

g(z)=z*³√1-z

Kettenregel höchstwahrscheinlich, aber bekomme ein anderes falsches Resultat. ist die äussere z*t³ , kann mir jemand die Aufgabe komplett lösen? thxx

Comments

g(z)=z*3√1-z

Wie soll die Funktion eigentlich lauten

g(z)= z * 3 * √1-z
oder
g(z)= z * 3 * √ (1-z )

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Oder vielleicht auch \(\displaystyle g(z)=z\cdot\sqrt[3\,]{1-z}\) ?

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Eine gelungene Variante

Answer 1

Die kettenregel brauchst du auch, für die Wurzel. Aber zunächst müsstest du erkennen, das die ganze Funktion ein Produkt ist. Deshalb benötigst du die Produktregel.

Answer 2

Aloha :)

Wir fangen an mit der Produktregel:$$g'(z)=\left(\underbrace{z}_{u}\cdot\underbrace{\sqrt[3]{1-z}}_{v}\right)'=\underbrace{1}_{u'}\cdot\underbrace{\sqrt[3]{1-z}}_{v}+\underbrace{z}_{u}\cdot\underbrace{\left(\sqrt[3]{1-z}\right)'}_{v'}$$

Die Ableitung \(v'\) erhalten wir mit der Kettenregel:$$\left(\sqrt[3]{1-z}\right)'=\left((1-z)^\frac13\right)'=\underbrace{\frac13(1-z)^{-\frac23}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{(1-z)'}_{=\text{innere Abl.}}=\frac13(1-z)^{-\frac23}\cdot(-1)$$$$\phantom{\left(\sqrt[3]{1-z}\right)'}=\frac{-1}{3(1-z)^\frac23}=-\frac{(1-z)^\frac13}{3(1-z)^\frac23\cdot(1-z)^\frac13}=-\frac{\sqrt[3]{1-z}}{3(1-z)}$$

Damit lautet die gesuchte Ableitung:$$g'(z)=\sqrt[3](1-z)-z\cdot\frac{\sqrt[3]{1-z}}{3(1-z)}=\sqrt[3]{1-z}\left(1-\frac{z}{3(1-z)}\right)=\sqrt[3]{1-z}\cdot\frac{3-4z}{3-3z}$$