Berechnen Sie das Integral: ∫x2*e-x

Question

Aufgabe:

Hallo, ich mache grade paar Altklausuren Aufgaben und habe bei der folgenden Aufgabe eine Frage:

Berechnen Sie das Integral:

∫x²*e^-x

Das Integral geht von 0 bis 1.

Ich komme auf das Endergebnis:

x²*((-e^-x)-e^-x+c

Ich habs mit der partiellen Integration gelöst, jedoch weiß ich nocht was ich falsche gemacht habe, da wenn ich mein Endergebnis ableite komme ich nicht auf das oben geannnte Integral

Comments

hier:

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Aloha :)

Hier hilft doppelte partielle Integration:$$\int\underbrace{x^2}_{u}\cdot\underbrace{e^{-x}}_{v'}\,dx=\underbrace{x^2}_{u}\cdot\underbrace{(-e^{-x})}_{v}-\int\underbrace{2x}_{u'}\cdot\underbrace{(-e^{-x})}_{v}\,dx=-x^2\cdot e^x+\int\underbrace{2x}_{f}\cdot\underbrace{e^{-x}}_{g'}\,dx$$$$\phantom{\int\underbrace{x^2}_{u}\cdot\underbrace{e^x}_{v'}\,dx}=-x^2e^x+\left(\underbrace{2x}_{f}\cdot\underbrace{(-e^{-x})}_{g}-\int\underbrace{2}_{f'}\cdot\underbrace{(-e^{-x})}_{g}\,dx\right)$$$$\phantom{MMMMMM}=-x^2e^x-2xe^{-x}+\int 2e^{-x}dx$$$$\phantom{MMMMMM}=-x^2e^x-2xe^x-2e^x+\text{const}$$$$\phantom{MMMMMM}=-e^x(x^2+2x+2)+\text{const}$$

Answer 2

Hallo

du hast die partielle Integration offensichtlich falsch gemacht, du musst 2 mal partiell integrieren. sonst benutze integralrechner.de und lass es dir zeigen

lul

Answer 3

Ansatz

F(x) = e^(-x)·(a·x^2 + b·x + c)

F'(x) = e^(-x)·(-a·x^2 + (2·a - b)·x + b - c) = e^(-x)·(x^2)

Koeffizientenvergleich

-a = 1
2·a - b = 0
b - c = 0 --> a = -1 ∧ b = -2 ∧ c = -2

Damit ist eine Stammfunktion

F(x) = e^(-x)·(- x^2 - 2·x - 2)

∫ (0 bis 1) f(x) dx = F(1) - F(0) = - 5/e - (- 2) = 2 - 5/e = 0.160602794