Aloha :)
$$I=\int\frac{e^{2x}+3e^x-1}{e^x-2}\,dx=\int\frac{(e^x)^2+3\cdot e^x-1}{e^x-2}\,dx$$
Die Idee von deinem Kollegen ist gut. Durch die Substitution \(u\coloneqq e^x\) entsteht nämlich im Zäher ein quadratischer Term und im Nenner ein linearer Term:$$I=\int\frac{u^2+3\cdot u-1}{u-2}\,dx$$Nach dieser Substitution hast du aber nun ein Problem, denn die Integrationsvariable \(x\) kommt im Integranden nicht mehr vor. Du musst also auch das Differential \(dx\) "irgendwie" in \(du\) transformieren. Dazu fasst du die neue Variable \(u\) als Funktion von \(x\) auf und bildest die Ableitung:$$u(x)=e^x\implies\frac{du}{dx}=e^x\implies dx=\frac{du}{e^x}\implies dx=\frac{du}{u}$$Beachte, dass wir im letzten Schritt im Nenner für \(e^x\) ein \(u\) geschrieben haben, damit der Ausdruck für \(dx\) kein \(x\) mehr enthält. Wenn du nun dieses Differential in dem Integral einsetzt, erhältst du einen Integranden der nur von \(u\) abhängt und auch nach \(du\) integriert werden soll:$$I=\int\frac{u^2+3\cdot u-1}{u-2}\cdot\frac{du}{u}=\int\frac{u^2+3\cdot u-1}{u^2-2u}\,du$$
Wenn noch Integrationsgrenzen \(x_{\text{unten}}\) und \(x_{\text{oben}}\) gegeben wären, müsstest du diese auch auf die neue Variable \(u\) umrechnen, indem du sie in die Funktion \(u(x)\) einsetzt:$$u_{\text{unten}}=u(x_{\text{unten}})\quad;\quad u_{\text{oben}}=u(x_{\text{oben}})$$
Das so entstandene Integral kannst du nun berechnen:$$I=\int\frac{u^2\pink{+3u}-1}{u^2-2u}\,du=\int\frac{(u^2\pink{-2u})+(\pink{5u}-1)}{u^2-2u}\,du=\int\left(1+\frac{5u-1}{u(u-2)}\right)du$$$$\phantom I=\int\left(1+\frac{\frac12\left(u-2\right)+\frac92u}{u(u-2)}\right)du=\int\left(1+\frac{1}{2}\cdot\frac1u+\frac92\cdot\frac{1}{u-2}\right)du$$Das sind 3 Standard-Integrale, die du auswendig kennst:$$I=u+\frac12\ln|u|+\frac92\ln|u-2|+C$$
Da die ursprüngliche Integrationsvariable \(x\) war, sollten wir das \(u=e^x\) im Ergebnis wieder zurück subsituieren:$$I=e^x+\frac x2+\frac92\left|e^x-2\right|+C$$
