Falls die Grenzwerte existieren, bestimmen Sie diese.

Question

Es seien \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) und \( g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit

\( \begin{array}{l} f(x, y)=\left\{\begin{array}{lll} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}} & \text { für } & (x, y) \neq(0,0), \\ 0 & \text { für } & (x, y)=(0,0), \end{array}\right. \\ g(x, y)=\left\{\begin{array}{lll} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & \text { für } & (x, y) \neq(0,0), \\ 0 & \text { für } & (x, y)=(0,0), \end{array}\right. \end{array} \)
gegeben.
a) Falls die Grenzwerte existieren, bestimmen Sie \( \lim \limits_{t \rightarrow 0} f(t, t) \) und \( \lim \limits_{s \rightarrow 0} f\left(s, s^{2}\right) \) sowie \( \lim \limits_{t \rightarrow 0} g(t, t) \) und \( \lim \limits_{s \rightarrow 0} g\left(s, s^{2}\right) \).
b) Für welche \( (x, y) \in \mathbb{R}^{2} \) sind \( f \) und \( g \) stetig? Begründen Sie!
c) Falls die partiellen Ableitungen existieren, bestimmen Sie \( f_{x}(x, y) \) und \( f_{y}(x, y) \) sowie \( g_{x}(x, y) \) und \( g_{y}(x, y) \) für alle \( (x, y) \in \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} . \)
d) Falls die partiellen Ableitungen existieren, bestimmen Sie \( f_{x}(0,0) \) und \( f_{y}(0,0) \) sowie \( g_{x}(0,0) \) und \( g_{y}(0,0) \).

Comments

Teilweise hier beantwortet:

https://www.mathelounge.de/912788/es-seien-f-r2-r-und-g-r2-r-mit

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hallo

setze doch statt x,y einmal tut,  im anderenFall s,s^2 ein dann siehst du fast sicher die GW.

lul

Answer 1

 \( \lim \limits_{t \rightarrow 0} f(t, t) = \lim \limits_{t \rightarrow 0}\frac{t^2}{2t^2} = \frac{1}{2}\)

\( \lim \limits_{s \rightarrow 0} f\left(s, s^{2}\right)= \lim \limits_{t \rightarrow 0}\frac{s^3}{s^2+s^4} =  \lim \limits_{t \rightarrow 0}\frac{s}{1+s^2} =  \frac{0}{1} =0\)

 \( \lim \limits_{t \rightarrow 0} g(t, t) = \lim \limits_{t \rightarrow 0}\frac{t^4}{2t^2} =  \lim \limits_{t \rightarrow 0}\frac{t^2}{2}=0 \) 

\( \lim \limits_{s \rightarrow 0} g\left(s, s^{2}\right)= \lim \limits_{t \rightarrow 0}\frac{s^6}{s^2+s^4} =  \lim \limits_{t \rightarrow 0}\frac{s^4}{1+s^2} =  \frac{0}{1} =0\)