Zeigen, dass es keine weiteren Maxima gibt und wie müssen die Maße eines Karton gewählt werden?

Question

Ein nach oben offener Karton mit quadratischer Grundfläche Soll bei einer vorgegebenen Oberfläche von 100cm^2 ein möglichst großes Volumen besitzen .Wie müssen die Maße des Kartons gewählt werden ? Zeigen sie das es keine weiteren maximal gibt.

kann. Mir bittttte jemand helfen..

Answer 1

Nun, das Volumen V eines Kartons, dessen quadratische Grundfläche die Seitenlänge a habe und dessen Höhe h sei,  ist:

V ( a , h ) = a ² * h

Sein Oberflächeninhalt O ist:

O ( a , h ) = a ² + 4 * a * h = 100

Löst man nach h auf

h = ( 100 - a ² ) / ( 4 a )

und setzt dies in die Volumenformel ein, so erhält man:

V ( a ) = a ² * ( 100 - a ² ) / ( 4 a )

= ( 100 a ² - a ⁴ ) / ( 4 a )

= 25 a - a ³ / 4

Extremstellen höchstens dort , wo die Ableitung v ' ( a ) den Wert Null annimmt, also:

V ' ( a ) = - ( 3 / 4 ) a ² + 25 = 0

<=> ( 3 / 4 ) a ² = 25

<=> a ² = 25 * 4 / 3 = 100 / 3

<=> a = ± √ ( 100 / 3 ) =

Da es um Längen geht, ist der negative Wert nicht von Interesse, also:

a = √ ( 100 / 3 ) ≈ 5,77 cm

Es gibt also nur eine positive Lösung und damit auch höchstens eine Extremstelle.

 

Für die Höhe h ergibt sich damit aus der nach h aufgelösten Oberflächenformel (siehe oben):

h = ( 100 - a ² ) / ( 4 a )

= ( 100 - ( 100 / 3 ) ) / ( 4 * √ ( 100 / 3 ) )

= ( 200 / 3 ) / ( 4 * √ ( 100 / 3 ) )

= ( 50 / 3 ) / √ ( 100 / 3 )

= ( ( 50 / 3 ) * √ ( 100 / 3 ) ) / ( 100 / 3 )

= ( 5 / 10 ) * √ ( 100 / 3 )

= 0,5 * a

Die Höhe des Kartons mit maximalem Inhalt ist also die Hälfte der Seitenlänge seiner Grundfläche.

Comments

Vielen vielen Dank.. Du hast mir wirklich sehr weiter geholfen

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Das ist falsch: nach dem einsetzen: 

V = (100a^2 - a^4) / 4a 

Kürzen 

V = 25a^2 - a^3

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Das solltest du dir besser noch einmal etwas genauer ansehen ...

Du musst in

V = ( 100 a ² -  a ⁴ ) / ( 4 a )  

beide Summanden des Zählers durch 4 und durch a dividieren, also

= 100  a ² / ( 4 a )  - a⁴ / ( 4 a )

Durch Kürzen dieser beiden Brüche erhältst du:

= 25 a - a³ / 4

also genau mein Ergebnis.

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Ich habe mir etliche Oberflächen-Formeln angeschaut doch komme ich auf die Formel: a^ 2 + 4 * a * h

Warum nicht 2*a^2+4h?

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Der Karton ist oben offen.