Rechnen mit Wurzeln Regeln

Question

und zwar verstehe ich nicht, wie man die Wurzel als Bruch schreiben kann, was dort die Regel ist und wieso man dort noch mit 1/n multipliziert. Online habe ich leider nichts dazu gefunden.

Text erkannt:

\( \begin{aligned}\left|g_{n}(x)-g(x)\right| &=\left|\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}}-\right| x||=\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}}-\sqrt{x^{2}} \\ &=\frac{1}{n}\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}}+\sqrt{x^{2}}}\right) \\ & \leq \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{n}}}=\frac{1}{\sqrt{n}}, \end{aligned} \)

Answer 1

Mit dritter binomischer Formel

        \((a-b)(a+b)=a^2 - b^2\)

bekommt man

        \(\begin{aligned} & \sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}}-\sqrt{x^{2}}\\ = & \left(\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}}-\sqrt{x^{2}}\right)\cdot\frac{\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}}+\sqrt{x^{2}}}{\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}}+\sqrt{x^{2}}}\\ = & \frac{\left(\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}}-\sqrt{x^{2}}\right)\cdot\left(\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}}+\sqrt{x^{2}}\right)}{\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}}+\sqrt{x^{2}}}\\ = & \frac{x^{2}+\frac{1}{n}-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}}+\sqrt{x^{2}}}\\ = & \frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}}+\sqrt{x^{2}}}\\ = & \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}}+\sqrt{x^{2}}} \end{aligned}\)

Answer 2

\( \sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}}-\sqrt{x^{2}} =\frac{1}{n}\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}}+\sqrt{x^{2}}}\right)  \)

Geht es um diesen Schritt ?

Dann wird der besser klar, wenn du von rechts nach links rechnest:

Erweitere den Bruch mit der Differenz der beiden Wurzeln, die

im Nenner stehen und wende 3. binomi. Formel an.