Leiten Sie die Funktionen in Verwendung gemischter Regeln nach x ab.

Question

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

Ableitungen
Leiten Sie die Funktionen nach \( \mathrm{x} \) ab.

5) gemischte Regeln:
a) \( f_{1}(x)=\ln (\sqrt{1-x}) \)
b) \( f_{2}(x)=e^{x} \cdot \ln (\cos (x)) \)
c) \( f_{3}(x)=\frac{\sin (7 x)}{\cos ^{2}(x)} \)

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.


Liebe Grüße

Sevi

Answer 1

\( f_{1}(x)=\ln (\sqrt{1-x}) \)

==> \( f_{1}(x)=\frac{1}{ \sqrt{1-x} } \cdot \) Ableitung von \( \sqrt{1-x} \)

   \( =\frac{1}{ \sqrt{1-x} } \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}}\)   Ableitung von \( 1-x \)

    \( =\frac{1}{ \sqrt{1-x} } \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1) = \frac{-1}{2(1-x)} \)

Answer 2

Benutze zur Ideenfindung z.B. https://www.ableitungsrechner.net

f(x) = LN(√(1 - x)) = LN((1 - x)^{1/2}) = 1/2·LN(1 - x)

f'(x) = 1/2·1/(1 - x)·(-1) = 1/(2·x - 2)

Answer 3

\( f_{1}^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}} * \frac{1}{2 \sqrt{1-x}} *(-1) \)

\( f_{2}^{\prime}(x)=e^{x} * \ln (\cos (x))+e^{x} * \frac{1}{\cos (x)} *(-\sin (x)) \)

\( f_{3}^{\prime}(x)=\frac{\cos ^{2}(x) *(-\cos (7 x) * 7)-2 * \cos (x) *(-\cos (x)) * \sin (7 x)}{\cos ^{4}(x)} \)

\( \Rightarrow \frac{-7 * \cos (7 x)+2 * \sin (7 x)}{\cos ^{2}(x)} \)