Integralsatz von Stokes? Braucht man hier eine Parametrisierung in Kugelkoordinaten?

Question

Aufgabe:

Aufgabe 1:

Gegeben sei die Menge
(8 Punkte)
\( S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 25, z \geq 0\right\} . \)
a) Skizzieren Sie die Menge \( S \).
b) Gegeben sei eine Funktion \( F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \). Welcher Integralsatz eignet sich zur Berechnung des Integrals
\( \int \limits_{\partial S} F d x ? \)
- Geben Sie die Definition des Integralsatz an (inklusive Voraussetzungen).
- Ergänzen Sie die Skizze aus a) um die Menge \( \partial S \).
c) Sei \( F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, F(x, y, z)=\left(\begin{array}{c}\sin (y)-x^{3} \\ \cos (z)-y^{3} \\ e^{x}-z^{3}\end{array}\right) \). Berechnen Sie \( \int \limits_{\partial S} F \mathrm{~d} x \).

Problem/Ansatz:

Ich will eigentlich nur wissen welchen Integralsatz man hier braucht, beim stokes bekomme ich für die rotation Zeug raus, was ich nicht mit Kugelkoordinaten verwenden kann.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Menge \(S\) beschreibt eine Halbkugel mit Radius \(r=5\) und Mittelpunkt im Ursprung, die oberhalb der \(xy\)-Ebene liegt. Mit Hilfe des Gaußschen Satzes \(d\vec f=dV\cdot\vec\nabla\) kannst du die Divergenz des Vektorfeldes \(\vec F\), die überigens gleich \((-3r^2)\) ist, über die geschlossene Oberfläche dieser Halbkugel integrieren. Das heißt, du musst über die Oberfläche der Halbkugel und über die Kreisfläche am Boden integrieren.

Kriegst du die Rechnung hin? Falls nicht, frag hier einfach nochmal nach...

Comments

Ich komme auf -3750pi ich weiß aber nicht ob das passt.
Kommst du auf \((-3r^2)\) indem du z auf Null setzt?

Und schon mal danke für deine Ausführliche Hilfe, ich weiß noch nicht so richtig wie man erkennt wann man Stokes und wann man Gauss verwenden muss.

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Ich habe mir die beiden Integralsätze so gemerkt:$$\text{Gauß}\colon d\vec f=dV\cdot\vec\nabla\quad;\quad\text{Stokes}\colon d\vec r=d\vec f\times\vec\nabla$$Das heißt, mit Gauß wechselst du zwischen Volumen- und Flächenintegral, mit Stokes zwischen Flächen- und Linienintegral.

Hier noch die Rechung zur Kontrolle:$$\operatorname{div}\vec F=\vec\nabla\cdot\vec F=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}=-3x^2-3y^2-3z^2=-3r^2$$$$\implies \vec F\,d\vec f=d\vec f\,\vec F=dV\cdot\vec\nabla\cdot\vec F=dV\cdot(-3r^2)=-3r^2\,dV$$Damit lautet das gesuchte Integral:$$\Phi=\oint\limits_{\partial S}\vec F\,d\vec f=\int\limits_V(-3r^2)\,dV=\int\limits_{r=0}^5\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{\vartheta=0}^{\frac\pi2}-3r^2\,r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta$$$$\phantom{\Phi}=-3\int\limits_{r=0}^5r^4\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{\vartheta=0}^{\frac\pi2}\sin\vartheta=-3\cdot625\cdot2\pi\cdot1=-3750\,\pi$$

Ich kann dein Ergebnis daher bestätigen\(\quad\checkmark\)