Beweisaufgabe zu Grenzwerten

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei \( \beta \in \mathbb{R} \). Zeigen Sie:
\( \lim \limits_{x \rightarrow 0+} x^{\beta} \sin \left(\frac{1}{x}\right) \text { existiert } \Longleftrightarrow \lim \limits_{x \rightarrow 0+} x^{\beta} \cos \left(\frac{1}{x}\right) \text { existiert } \Longleftrightarrow \beta>0, \)
und obige Grenzwerte sind, sofern sie existieren, null.

Problem/Ansatz:

Leider komme ich hier auch auf keine Lösung. Ich habe wirklich lange überlegt und habe nun die Hoffnung aufgeben. Ich hoffe hier gibt es schlauere Mathematiker (höchstwahrscheinlich jeder).

Comments

meine Überlegungen

1 / x
lim x -> 0(+) [ 1/x ] = 1/0 = ∞
∞ ist kein fester Wert auf dem Zahlenstrahl
sin ( ∞ ) osziliert zwischen -1 und +1

x hoch irgendwas
0(+) hoch irgendwas ist 0(+)

0(+) * ( -1 bis +1 ) = 0

Answer 1

Wenn wenn x gegen 0 geht, dann geht 1/x gegen unendlich.

Da Sinuswerte prinzipiell nur zwischen -1 und 1 liegen und dort ständig hin und her pendeln, hat sin(1/x) und auch cos(1/x) keinen Grenzwert, weil die Werte wiederholt das gesamte Intervall überstreichen.

Die in der Aufgabe genannten Grenzwerte können nur existieren, wenn \(x^β \) selbst konvergiert.