Aloha :)
zu a) Wir brauchen einen Normalenvektor \(\vec n\) der Ebene, also einen Vektor, der auf der Ebene senkrecht steht. Den kann man mit dem Vektorprodukt bestimmen:$$\vec n=\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-3\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-0\\0-6\\6+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-6\\12\end{pmatrix}$$
Damit bestimmen wir eine Normalform der Ebene:$$\vec n\cdot\vec x=\vec n\cdot\begin{pmatrix}3\\1\\3\end{pmatrix}\implies\begin{pmatrix}4\\-6\\12\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-6\\12\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\1\\3\end{pmatrix}=12-6+36=42\implies$$$$E\colon\;4x-6y+12z=42$$Die Hesse'sche Normalform erhalten wir daraus, indem wir die Gleichung durch die Länge des verwendeten Normalenvektors dividieren, diese beträgt \(\ell=\sqrt{4^2+(-6)^2+12^2}=\sqrt{196}=14\).$$E_H\colon\;\frac{2}{7}x-\frac{3}{7}y+\frac{6}{7}z=3$$Aus der Hesse'schen Normalform lesen wir den Abstand \(3\) der Ebene zum Ursprung ab.
zu b) Wir setzen die beiden Punkte in die Koordinatengleichungen von \(E\) ein:
$$P_1(1|1|1)\colon\;4\cdot1-6\cdot1+12\cdot1=10\ne42\implies\text{liegt nicht in der Ebene}$$$$P_2(-3|3|6)\colon\;4\cdot(-3)-6\cdot3+12\cdot6=42\;\checkmark\implies\text{liegt in der Ebene}$$
