Aufgabe 2: Nichtlineare Kostenfunktionen (14 Punkte)
In einer Glasmanufaktur in Braunschweig werden Glasfiguren hergestellt. Insbesondere der Braunschweiger Löwe aus Glas erfreut sich hoher Nachfrage. Aufgrund von Lerneffekten kann Mitarbeiter 1 die Bearbeitungszeit für einen Glaslöwen im Laufe der Zeit senken. Für inn hängen die Kosten pro Löwe \( k_{1} \) daher gemäß folgender Beziehung von der kumulierten Menge \( y \) der bisher gefertigten Löwen ab:
\( k_{1}(y)=300 \cdot y^{-0,4} \)
a) Mitarbeiter 1 hat bereits 800 Löwen hergestellt. Wie viele zusätzliche Löwen muss er fertigen, damit sich die Stückkosten halbieren? Geben Sie bitte auch den Rechenweg an.
(4 Punkte)
Lösung:
\( \begin{array}{c} k_{1}(y) \stackrel{!}{=} 0,5 \cdot k_{1}(800) \\ k_{1}(800)=300 \cdot 800^{-0,4} \approx 20,7 \\ 0,5 \cdot k_{1}(800)=0,5 \cdot 300 \cdot 800^{-0,4}=150 \cdot 800^{-0,4} \\ 300 \cdot y^{-0,4}=150 \cdot 800^{-0,4} \\ y^{-0,4}=\frac{1}{2} \cdot 800^{-0,4}=>\frac{1}{\sqrt[5]{y^{2}}}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[5]{800^{2}}}=>y^{2}=2^{5} \cdot 800^{2} \\ y=\sqrt{2^{5}} \cdot 800=4525,48 \approx 4526 \end{array} \)
Mitarbeiter 1 muss \( 4526-800=3726 \) zusätzliche Löwen fertigen, damit sich die Stückkosten halbieren.
Guten Tag könnte mir jemand diese Aufgabe erklären, ich verstehe die Umformungen nicht in den letzten zwei Zeilen.
