Welche Tangente an den Graphen von f ist orthogonal zu t1?

Question

Aufgabe:

A) Wie lautet die Gleichung der Tangente t₁ an den Graphen von f(x) =\( \frac{1}{3} \) x² an der Stelle x₀ = - 2

Meine Lösung:

y= - \( \frac{4}{3} \) x- \( \frac{4}{3} \)

Soweit so gut, jetzt zum Problem:

B) Welche Tangente an den Graphen von f ist orthogonal zu t_1?

Es wäre sehr nett und hilfreich, falls mir jemand (gerne auch an diesem Beispiel, mit Zahlen finde ich es immer anschaulicher) den lösungsweg erklären könnte.

Wir haben die Aufgabe schon kontrolliert und die Lösung wurde uns zur Verfügung gestellt, es ist also keine Hausaufgabe die ich "outsource".

Viele Grüße und danke im voraus :)

Answer 1

Hallo,

wenn zwei Geraden senkrecht aufeinander stehen, gilt für die Steigungen \(m_1=-\frac{1}{m_2}\) oder anders gesagt: Die Steigung der Orthogonalen ist der negative Kehrwert der Steigung der Tangente.

Die Orthogonale hat also die Steigung \( \frac{3}{4} \).

Ableitung = Steigung, also gilt für die Orthogonale

\(\frac{2}{3}x=\frac{3}{4}\\ x=\frac{9}{8}\)

Die Orthogonale läuft durch den Punkt \(Q\bigg(\frac{9}{8}|\frac{27}{64}\bigg)\)

Jetzt brauchst du nur noch die Gleichung aufzustellen.

Gruß, Silvia

Comments

Vielen Dank!

Nocheinmal zum sicher gehen:

Ich berechne die Steigung der orthogonalen wie gehabt und setzte diese dann mit der 1. Ableitung gleich.

Dann habe ich m und x, setzte x in die ursprüngliche Funktion ein und erhalte y.

Mit x, y und m kann ich dann b berechnen.

Dann nurnoch in die Gleichung (y=mx+b) einsetzen und fertig?

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So ist es. Zur Kontrolle siehst du die Gleichung der Orthogonalen in der Zeichnung.

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Super, vielen vielen Dank :D

Answer 2

Wenn eine Gerade den Anstieg m hat, dann hat eine dazu senkrechte Gerade den Anstieg -1/m.

Comments

Danke erstmal für deine Antwort.

Allerdings war ich auch schon soweit, dass ist ja das ganz grundlegende.

Ich dachte auch, dass es so richtig sei, also x0 in die erste Ableitung des Graphens eingesetzt und dann -  \( \frac{1}{mt1} \) gerechnet.

Soweit hatte ich auch das gleiche Ergebnis wie meine Lehrerin, nun hat sie von da allerdings für mich unverändert weitergerechnet, weshalb ich gehofft habe, dass mir jemand den kompletten rechenweg dahin erklären könnte.