Bestimme die Flächeninhalte zweier Kreisringe

Question

In- und Umkreis eines Quadrates mit der Seitenlänge 1 begrenzen einen Kreisring der Fläche A.

In- und Umkreis eines regelmäßigen Sechsecks mit der Seitenlänge 1 begrenzen einen Kreisring der Fläche B.

Bestimme B/A.

Answer 1

Hallo Roland,

Die Fläche \(F\) eines Kreisrings mit Innendurchmesser \(r_i\) und Außendurchmeser \(r_a\) ist$$F=r_a^2\pi - r_i^2\pi = (r_a^2-r_i^2)\pi$$

oben im Bild ist die Ecke eines regelmäßigen N-Ecks mit In- und Umkreis dargestellt. Die Seitenlänge sei \(|PQ|=s\). Im rechtwinkligen Dreieck \(\triangle MQC\) gilt$$r_i^2 + \left(\frac s2\right)^2 = r_a^2 \implies \left(\frac s2\right)^2 = r_a^2-r_i^2$$Daraus folgt die Fläche des Kreisrings$$F= \left(\frac s2\right)^2\pi$$Die Kreisringe zweier regelmäßiger Polygone mit gleicher Seitenlänge \(s\) haben also den identischen Flächeninhalt$$\implies \frac BA = 1$$Gruß Werner

Answer 2

Hallo,

Quadrat:

der Radius des Innenkreises r₁= 1/2

der Radius des Aussenkreises r₂ = 1/2 \( \sqrt{1²+1²} \)   -> 1/2 *\( \sqrt{2} \)

nun ist A( Kreising)  :   A=  π (r²₂ - r² ₁ )

Sechseck

für den Innenkreis die Höhe des gleichseitigen Dreieckes bestimmen

h= \( \sqrt{1² -1/2²} \)    das ist nun der Radius des Innenkreises , der Aussenkreis hat die Länge r = 1

nun wie oben verfahren und die Differenz bilden

Answer 3

Ich komme auf:

B/A = pi·(1^2 - (√3/2)^2) / (pi·((√2/2)^2 - (1/2)^2)) = 1