Zeigen Sie, dass es mindestens ein x ∈ [0 ; 1] mit f(x))=1 gibt.

Question

Aufgabe:

beweis für ein x mit f(x)=1 mit zwischenwertsatz?

Problem/Ansatz:

Servus Leute, und zwar habe ich ein kleines Problem bei einer Aufgabe ( siehe Bild ) also würde jetzt gefragt werden dass man zeigen soll das die Funktion eine Nullstelle besitzt ( also ganz allgemein ein x mit f(x)=0) würde ich so vorgehen:

f(0) > 0 und f(1) < 0 also muss es gemäß den ZWS ein x mit f(x)=0 geben. Aber wie zeige ich explizit das dieses x f(x)=1 ist?

Ich hoffe ihr versteht mein Problem und könnt mir helfen

Text erkannt:

b) Betrachten Sie die Funktion \( f(x)=e^{x} \cdot \cos (\pi x)+2 \). Zeigen Sie, dass es mindestens ein \( x \in \) \( [0 ; 1] \) mit \( f(x))=1 \) gibt.

Comments

Wende den ZWS auf die Funktion \(h(x) := f(x)-1\) an.

Answer 1

\( f(0)=e^{0} \cdot \cos (\pi \cdot 0)+2 = 1 + 2 = 3\)

\( f(1)=e^{1} \cdot \cos (\pi \cdot 1)+2 =  e \cdot (-1) + 2 \) ≈ -0,7

Da 1 zwischen -0,7 und 3 liegt gibt es nach dem ZWISCHENwertsatz

ein x im Intervall [0,1] mit f(x)=1.

Nicht das x ist 1, sondern der Funktionswert von x.