Integralberechnung mit Hilfe des Residuensatzes

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie
\( \int \limits_{-\infty}^{\infty} \LARGE\frac{e^{i \omega x}}{x^{4}+1} \small d x \)

für \( \omega>0 \) mithilfe des Residuensatzes.

Problem/Ansatz:

Folgendes habe ich bereits gemacht. komme aber leider nicht weiter:

Answer 1

Hallo,

Deine Polstellen stimmen. Jetzt mußt Du sehen, welche in der oberen Halbebene liegen.

Zerlege z^4+1 in Linearfaktoren.

\( z^{4}+1 \)  =\( \left(z-\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)\left(z-\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)\left(z+\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)\left(z+\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right) \)

Dann in die Residuumformel einsetzen, beiden addieren und mit 2πi multiplizieren.

Es kann sicher noch vereinfacht werden , mein Ergebnis:

\( \frac{\pi e^{-\omega / \sqrt{2}} \sin \left(\frac{\omega}{\sqrt{2}}\right)}{\sqrt{2}}+\frac{\pi e^{-\omega / \sqrt{2}} \cos \left(\frac{\omega}{\sqrt{2}}\right)}{\sqrt{2}} \)