Aufgabe:
Widerlegung des unendlich tippenden Affen?
Problem/Ansatz:
Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung bestimmt man eine statische Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereigniss eintritt.
z.B: bei einem Würfel ist die Chance auf eine Seite zu landen 1/6 das stimmt. Ein zweites gewürfelt besteht die Wahrscheinlichkeit 6 zu werfen immernoch 1/6.
Man kann es auch ausdrücken als Anzahl ausgewählter Objekte dividiert durch die Anzahl der auswählbaren Objekte. (I)
Will man aber jetzt wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist hintereinander 2 6en zu werden multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten und erhält somit 1/36 als Wahrscheinlichkeit.
So viel erstmal zur Einführung.
Nun bei einem Würfel kennen wir alle Seiten. Sie sind 6 und endlich und wir können es abzählen. Wie ist aber die Wahrscheinlichkeit bei unendlich vielen Möglichkeiten?
Mathematisch gesehen ist es folgendermaßen:
P = lim(1/n) ; mit n gegen unendlich. Der Nenner wird immer größer und die Wahrschienlichkeit immer kleiner -> Konvergiert also gegen 0
=> P(n=unendlich) = lim (1/n) = 0 (II)
Das Borel-Cantelli-Lemma besagt, dass sobald eine Wahrscheinlichkeit endlich ist, man eine Wahrscheinlichkeit von 1 hätte, wenn man es in einem unendlichen Intervall betrachtet. Damit hat man kein Problem. Das Problem ist das Beispiel mit dem Affen und zwar der Text. In der Veranschaulichung wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit für den Text endlich sei und das wird meiner Seite aus kritisiert. Angegriffen wird also eine Prämisse.
Im IMT (infinte monkey theorem) wird induktiv hergeleitet, dass die Wahrscheinlichkeit endlich ist, in dem man statische Wahrscheinlichkeit berechnet. Z.B. "Hamlet". Es gibt in diesem Fall 27 Tasten die alle gleich zufällig gedrückt werden. Somit ist die Wahrscheinlichkeit H zu treffen 1/27 und a zu treffen ebenfalls 1/27 und l ebenfalls 1/27 man kann also sagen, dass die Wahrscheinlichkeit für "Hamlet" als (1/27)^6 geschrieben werden kann, da Hamlet 6 Buchstaben besitzt. Die Regel ist also:
P = (1/27)^b ; mit b als Anzahl der Buchstaben in einem Buch.
Sagen wir das Buch hätte nur 1000 Buchstaben, dann wäre die Wahrscheinlichkeit dafür:
P1= (1/27)^1000
Nun interessieren wir uns für die Anzahl an Möglichkeiten eines Zufallsereignisses (Kombinatorik).
Kurze Einführung:
Nun bei der Kombinatorik müssen wir erstmal heraus finden um was es sich handelt. Ist es ein Zufallsexperiment mit Wiederholung oder ohne?
Natürlich ist es ein Fall mit Wiederholung.
Wie im Beispiel gezeigt, wäre die Wahrscheinlichkeit für den Begriff Hamlet ja (1/27)^6 das ist bezogen auf die Tasten und das ist in Ordnung auch so, aber wie viele Möglichkeiten gibt es eigentlich tatsächlich was die Tasten drücken können?
Der Fall P= (1/27)^1000 würde nur dann nämlich zutreffend sein, wenn der Affe auch nur 1000 mal drauf tippen könnte. Das heißt eine Begrenzung hätte in seinen Möglichkeiten. Der Affe hat aber keine Begrenzung. Er tippt einfach unendlich lang. Man muss also die Wahrscheinlichkeit P1 gegenüberstellen, was es an Möglichkeiten gibt, wie der Affe in der Unendlichkeit tippen könnte.
Berechnen wir also mal wie viele Möglichkeiten gegeben sind:
Die Regel lautet, dass die Begrenzung in den Exponenten kommt (wie z.B. oben bei 1000 oder beim Würfel wenn wir nur 2 mal werfen wäre der Exponent auch nur 2). Nun wir haben keine Begrenzung, da der Affe unendlich tippt. Die Bezeichnung ohne Begrenzung ist "unendlich". Das heißt wir hätten eine Wahrscheinlichkeit (1/27)^unendlich. Es gilt der Konvergenzsatz (II).
Das heißt die Wahrscheinlichkeit in der Unendlichkeit auf z.B. A oder "Hamlet" zu drücken zu tippen ist 0.
Damit wäre eigentlich schon das IMT widerlegt.
Man muss aber hier auch sagen, dass der Affe natürlich tippen muss. Das heißt 0 und 1 sind keine absolut Aussagen in der Wahrscheinlichkeitstheorie, auch wenn ihr es so gelernt habt. (Übrigens das zeigt auch auf, dass die Mathematik keine wirklichen Unendlichkeiten kennt.)
Das heißt die Wahrscheinlichkeit unendlich A zu tippen in der Unendlichkeit ist die gleiche wie unendlich B zu tippen und die gleiche wie unendlich Leerzeichen zu tippen und die gleiche wie Hamlet zu verfassen. Mathematisch gesehen liegt es bei 0, aber die Wahrscheinlichkeiten sind allesamt gleich.
Nun eine Fall Untersuchung: Wenn der Affe z.B. die Möglichkeit hat unendlcih a zu tippen, hat er noch Platz das Werk Hamlet zu tippen?
