Vektoren rechnen Parallelogramm

Question

Guten Abend Leute,

hoffe sehr das mir jemand bei der folgenden Aufgabenstellung weiterhelfen kann.

Vielen Dank Im Voraus.

Mit freundlichen Grüßen


Ümit


Fragestellung:
Gegeben sind die Vektoren
AB =a; AD = b; AE = c
M ist die Mitte des
Parallelogramms ABCD.
N ist die Mitte der Seite
[AD].
S ist der Schwerpukt des
Dreiecks BCE.
Drücken Sie den Vektor MS
durch a, b und c aus!

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Titel: Vektoren rechnen im Parallelogramm

Stichworte: vektoren

Guten Abend Leute,

hoffe sehr das mir jemand bei der folgenden Aufgabenstellung weiterhelfen kann.

Vielen Dank Im Voraus.

Mit freundlichen Grüßen

Ümit

Fragestellung:

Gegeben sind die Vektoren
AB =a; AD = b; AE = c
M ist die Mitte des
Parallelogramms ABCD.
N ist die Mitte der Seite
[AD].
S ist der Schwerpukt des
Dreiecks BCE.
Drücken Sie den Vektor MS
durch a, b und c  aus!

Answer 1

Betrachte den "Rundweg" AMSEA

und bedenke: Die Summe der auf den Strecken liegenden

Vektoren gibt den 0-Vektor.

==> AM+MS+SE+EA = 0-Vektor   #

AM = 0,5a+0,5b

MS bleibt, den wollen wir ja bestimmen

SE = (2/3)FE (Schwerpunkt teilt Seitenhalbierende 2:1)

            FE=FB+BA+AF = -0,5b -a +c

==>  SE=(2/3) *(-0,5b -a +c)

EA = -c .

Alles bei # einsetzen und nach MS auflösen.

Answer 2

Es gilt

(1)        \(\vec{AC}=\vec{AD}+\vec{AB}\).

Informiere dich über die geometrische Interpretation der Vektoraddion, falls du nicht weißt warum das so ist.

Also ist

(2)        \(\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{AB})\)

Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist das arithmetische Mittel der Ecken des Dreiecks. Also ist

(3)        \(\vec{AS} = \frac{1}{3}(\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AE})\).

Einsetzen von (1) ergibt

(4)        \(\vec{AS} = \frac{1}{3}(2\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AE})\).

Aus (2) und (4) folgt

        \(\begin{aligned}&\vec{MS}\\=\ & \vec{MA} + \vec{AS}\\=\ & -\vec{AM} + \vec{AS}\\=\ & -\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{AB}) + \frac{1}{3}(2\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AE})\\=\ &-\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{a}) + \frac{1}{3}(2\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})\\=\ &\frac{1}{6}\vec{a}-\frac{1}{6}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}\end{aligned}\)