Da Assoziativität der Addition und Multiplikation, sowie die
Distributivitätsgesetze sogar in der Obermenge \(\mathbb{C}\) gelten,
muss man diese für \(R\) nicht zeigen.
Dass \(R\) eine additive Gruppe bildet, ist so simpel,
dass ich es hier nicht zeigen werde.
Interessanter ist die multiplikative Abgeschlossenheit:
\((a+b\sqrt{-2})(c+d\sqrt{-2})=ac-2bd + (ad+bc)\sqrt{-2} \in R\).
Da \(R\) ein Unterring des Körpers \(\mathbb{C}\) ist,
ist \(R\) nullteilerfrei, also ein Integritätsbereich.
