Beweisen Sie, dass R ein Integritätsbereich ist. des Polynoms x3+1∈Z[x]

Question

Es sei α∈ℂ eine Nullstelle des Polynoms x³+1∈Z[x] und es sei α≠(−1).

Weiter sei R:={a+b⋅α∣a,b∈Z}, sowie N(a+b⋅α):=a²+ab+b² für alle a+b⋅α∈R.

Beweisen Sie, dass R ein Integritätsbereich ist.

Answer 1

Da \(X^3+1=(X+1)(X^2-X+1)\) ist, ist \(\alpha\) eine Nullstelle

des über Q irreduziblen Polynoms \(X^2-X+1\) und daher

\(R\subset Q(\alpha)\cong Q[X]/(X^2-X+1)\), was ein Körper ist.

Unterringe von Körpern sind Integritätsbereiche.

Es fehlt vielleicht noch der Nachweis der mult. Abgeschlossenheit

von \(R\). Die ist aber wegen \(\alpha^2=\alpha-1\) gegeben.

Dass \(R\) eine additive Gruppe ist, ist trivial.