Kern(AB) über charakteristisches Polynom

Question

Aufgabe:

Seien A, B ∈ R3×3 zwei Matrizen mit den charakteristischen
Polynomen χA(T ) = T^3 − 2T^2 + T und χB (T ) = T^3 − 6T^2 + 11T − 6. Zeigen Sie: Der
Kern von AB hat die Dimension 1

Problem/Ansatz:

Guten Tag liebes Forum.

Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Die charakteristischen Polynome sind gegeben, aber ich weiß nicht wie man auf die Dimension des Kerns schließt.

Als EW habe ich

A: a1= 0, a2= 1

B: b1=1, b2=2, b3=3

Für A habe ich daher zu u=0 als Eigenraum den Kern von A, aber weiter weiß ich auch nicht mehr.

Answer 1

Aus den charakteristischen Polynomen entnehmen wir

die folgenden Informationen:

1. \(A\) hat den Eigenwert 0 mit der alg. Vielfachheit 1,

so dass der Eigenraum zu 0 die Dimension 1 hat, also

\(\dim(Kern(A))=1\) gilt.

2. \(B\) hat die Determinante \(6\neq 0\), liefert daher einen Isomorphismus,

so dass \(B^{-1}\) existiert und natürlich ebenso wie \(B\)

llinear unabhängige Mengen in linear unabhängige Mengen überführt.

Wir folgern daraus:

\(\dim(Kern(AB))=\dim(\{v:\; ABv=0\})=\)

\(=\dim(\{v: \; Bv\in Kern(A)\})=\)

\(=\dim(\{v: \; v\in B^{-1}(Kern(A))\})=\)

\(=\dim(B^{-1}(Kern(A))=\dim(Kern(A))=1\)

Comments

Vielen Dank! Darf ich fragen wie du bei den Gleichungen auf die letzte Gleichheit gekommen bis?

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Ist \(U\) ein endlich dimensionaler Unterraum

von \(V\), so ist für jeden beliebigen Isomorphismus

\(f:V\rightarrow V\:\; \dim(f(U))=\dim(U)\),

da \(f\) linear unabhängige Mengen in linear

unabhängige Mengen überführt, ebenso wie \(f^{-1}\)

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Man kann mein Argument auch so kurz fassen:

\(U\cong f(U)\).