Zeige Sie, dass eine lineare Abildung L : V → W injektiv ist genau dann, wenn L surjektiv ist.

Question

Aufgabe:

Seien V, W Vektorräume mit dim(V ) = dim(W ). Zeigen Sie, dass eine lineare Abildung L : V → W injektiv ist genau dann, wenn L surjektiv ist.

Problem/Ansatz:

injektiv = dim(ker(A)) = {0}

surjektiv = dim(BILD(A)) = rg(A)

und weiter ?

Comments

dim(BILD(A)) = rg(A)

Das ist nur die Definition des Rangs, aber kein Kriterium für Surjektivität.

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Wende die Dimensionsformel für lineare Abbildungen an

L : V -> W

Dann gilt allgemein

dim V = dim ker L + dim Bild L

Wegen dim V = dim W gilt hier insbesondere

dim W = dim ker L + dim Bild L

Answer 1

L surjektiv <=>  dim(Bild(L))=dim(W) ; denn Bild(L) ist ja immer

ein Unterraum von W, und wenn der die gleiche dim wie W hat,

sind sie gleich. Und Bild(L)=W bedeutet ja: L ist surjektiv.