Bahnübergange - e Funktion

Question

Aufgabe:

Bahnübergange - e Funktion

Problem/Ansatz:

\(f(x) = e^x - 4e^{x/2}\) (x/2 hier als Bruch im Exponenten)

Es handelt sich hierbei um eine Kurvendiskussion. Den "Fahrplan" für dieses Vorgehen ist mir bereits bekannt. Jedoch habe ich Schwierigkeiten bei den Ableitung. Ich glaube, man wendet hier erstmal die Summenregel und dann die Kettenregel an. Doch vorallendingen das "x/2" verwirrt mich.

Danke für jegliche Antworten.

Answer 1

Venn dich x/2 stört, kannst du auch 0.5x schreiben.

Verwende https://www.ableitungsrechner.net/ zur Hilfe und Selbstkontrolle.

Comments

danke, kleiner denkfehler meinerseits.

Answer 2

Ja, zuerst die Summenregel. Dabei wird der Summand -4e^x/2 nach der Kettenregel abgeleitet:

Äußere Funktion -4e^u innere Funktion u=x/2

Äußere Ableitung -4e^u innere Ableitung u=1/2

Äußere Ableitung · innere Ableitung= -4e^x/2·1/2= - 2e^x/2.

Comments

danke für die schnelle antwort. wieso ist die innere ableitung = 1/2? ist es weil x/2 = 0 ist und e^0 immer 1 ergibt? und diese 1 dann für x eingesetzt wird?

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Die innere Funktion lautet hier u(x)=x/2 oder auch u(x)=1/2·x¹.

Dann ist die innere Ableitung u'(x)=1·1/2·x^1-1 oder oder u'(x)=1/2·x⁰. Wegen x⁰=1 ist also u'(x)=1/2.    

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was ist denn die Ableitung von x/2 = 0.5x ? Die innere Ableitung hat nichts mit der äußeren e-Funktion zu tun.

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Hier musst du die Kettenregel anwenden:$$f'(x)=\left(e^x-4e^{\frac x2}\right)'=\left(e^x\right)'-4\cdot\left(e^{\frac x2}\right)'=e^x-4\cdot\underbrace{e^{\frac x2}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\left(\frac x2\right)'}_{\text{innere Abl.}}$$$$\phantom{f'(x)}=e^x-4e^{\frac x2}\cdot\frac12=e^x-2e^{\frac x2}$$Die zweite Ableitung kannst du nach demselben Prinzip sofort hinschreiben:$$f''(x)=e^x-2e^{\frac x2}\cdot\frac12=e^x-e^{\frac x2}$$

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danke und schönen abend

Answer 4

e^(f(x)) wird abgeleitet zu e^(f(x)) * f '(x)

x/2 = 1/2*x