Bestimmen Sie den Funktionsterm, zeichnen Sie den Graphen und berechnen Sie das absolute Maximum der Funktion.

Question

Aufgabe:

Eine ganzrationale Funktion vierten Grades hat bei \( x=1 \) und \( x=5 \) Nullstellen und für \( x=1 \) einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Außerdem geht der Graph durch den Punkt \( A(3 \mid 5) \).

Bestimmen Sie den Funktionsterm, zeichnen Sie den Graphen und berechnen Sie das absolute Maximum der Funktion.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe hier nicht was mit der waagerechten Tangente gemeint ist.

Ich muss ja ein LGS aufstellen. Brauche 5 Gleichungen. Bisher habe ich 4 Stück und mir fehlt die 5.

Ich habe das Gefühl dass es was mit der Angabe der waagerechten Tangente zutun hat aber ich weiß nicht wie ich diese ausdrücken soll. Kann mir jemand helfen?

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Alternativer Ansatz: Ganzrationale Funktion vierten Grades mit dreifacher Nullstelle bei x=1, sowie weiterer Nullstelle bei x=5 bedeutet ƒ(x) = k·(x-1)³·(x-5). Aus ƒ(3) = 5 folgt k = -5/16.

Answer 1

Hallo,

waagerechte Tangente bedeutet, dass die Steigung an dieser Stelle null ist, also f'(1) = 0.

Hilft dir das?

Gruß, Silvia

Comments

Super vielen Dank! Nur frage ich mich wie du das hinbekommen hast...

Mein Gleichungssystem ist da irgendwie nicht ganz richtig.

Ich habe folgenden Ansatz gewählt:

f(x)= ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

f'(x)= 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d

f''(x)= 12ax^2 + 6bx + 2c

Und dann folgendes LGS

f(1)= a + b +c +d +e = 0

f(5)= 625a + 125b + 25c +5d +e = 0

f(3)= 81a + 27b +9c +3d +e = 5

f''(1)= 12a +6b +2c              = 0

f'(1)= 4a +3b +2c +d            = 0

und das geht irgendwie nicht auf...

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Dieses Gleichungssystem habe ich auch.

Das Ergebnis ist dann \(f(x)=-\frac{5}{16}x^4+2,5x^3-\frac{45}{8}x^2+5x-\frac{25}{16}\)

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Alles klar! Dieses LGS zu lösen ist irgendwie eine Nummer zu hoch für mich... Mit Gauß wäre es wahrscheinlich am praktischsten aber mir fehlt einfach der Kniff auf die richtigen Schritte zu kommen.

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Ja, auch mit Gauß ist es sehr aufwendig.

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Wie hast du es denn ohne Gauß gelöst?

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Ich habe mich offenbar falsch ausgedrückt. Ich habe es in einen "Gauß-Rechner" eingegeben und gesehen, wie aufwändig es ist.