Integral: Absolute Fläche zwischen zwei Graphen berechnen

Question

ich schreibe am Dienstag eine Klausur und bleibe jedes Mal bei dieser Art von Aufgaben hängen: 

Ich soll den Inhalt der Fläche, die die Graphen g(x)= 1-x² und h(x)= x-1 einschließen berechnen. Mein Problem ist nun, dass ich nicht auf die Lösung (A= 4,5) komme und den Fehler einfach nicht finde. Mir ist bewusst, dass ich die Funktion zu Beginn meiner Rechnung nicht vereinfacht habe, aber dies sollte doch trotzdem möglich sein, oder täusche ich mich?

Ansatz bzw. Rechnung:

Schnittstellen bestimmen: 1-x² = x-1, daraus folgen die Schnittstellen x₁= -2 und x₂= 1

Da beispielsweise g(0)=1 einen größenen Wert als h(0)= -1 hat, ziehe ich von g(x) die Funktion h(x) ab, also folgt:

A=\( \int\limits_{-2}^{1} \) g(x)-h(x)dx=\( \int\limits_{-2}^{1} \)1-x² - x-1dx = [ x − \( \frac{1}{3} \) x³− \( \frac{1}{2} \) x² −x]

  Grenzen einsetzen: (1-\( \frac{1}{3} \)· (1)³ - \( \frac{1}{2} \) (1)² -1) − (-2 -\( \frac{1}{3} \) ·(-2)³-\( \frac{1}{2} \)·(-2)²-(-2))

  Vereinfacht:(1-\( \frac{1}{3} \) -\( \frac{1}{2} \) -1) - (-2+\( \frac{8}{3} \) -2+2)

                   = -\( \frac{5}{6} \) - \( \frac{2}{3} \)

                   = -\( \frac{3}{2} \) davon noch den Betrag, da es sich um den absoluten Flächeninhalt handelt,

                   also: A=\( \frac{3}{2} \)  (entspricht nicht der Lösung A=4,5)

Ich bin jeder Hilfe sehr dankbar!

Answer 1

Klammern setzen nicht vergessen.

\(g(x)-h(x) = (1-x^2) - (x-1) \neq 1-x^2 - x-1\)

Somit ergibt sich \(\displaystyle\int\limits_{-2}^1 \left [ (1-x^2) - (x-1) \right ]\, dx = \int\limits_{-2}^1 \left [ -x^2 - x + 2 \right ]\, dx=\left [-\dfrac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x\right]_{-2}^1 = \dfrac{7}{6}- \left( - \dfrac{10}{3}\right) = \dfrac{9}{2}\)

(Für den orientierten FI Betragsstriche ergänzen)

Comments

Vielen Dank! Die Antwort hat mir sehr gut geholfen :)

Answer 2

Ich soll den Inhalt der Fläche, die die Graphen g(x)= 1-x^2 und h(x)= x-1 einschließen berechnen.

g(x) = 1 - x^2

h(x) = x - 1

d(x) = h(x) - g(x) = (x - 1) - (1 - x^2) = x^2 + x - 2

D(x) = 1/3·x^3 + 1/2·x^2 - 2·x

Schnittstellen

d(x) = x^2 + x - 2 = 0 --> x = -2 ∨ x = 1

Fläche

∫ (-2 bis 1) d(x) dx = D(1) - D(-2) = (1/3·1^3 + 1/2·1^2 - 2·1) - (1/3·(-2)^3 + 1/2·(-2)^2 - 2·(-2)) = - 7/6 - 10/3 = -4.5

Die Fläche beträgt 4.5 FE

Answer 3

A= ∫ (1-x^2 -(x-1))dx =1-x^2 -x +1 in den Grenzen von -2 bis 1

=∫( -x^2 -x +2)dx = -x^3/3 -x^2/2 +2x in den Grenzen von -2 bis 1

= -1/3 -1/2 +2 -(8/3 -2 -4)

=-1/3 -1/2 +2 -8/3 +2 +4 =-3 +8 -1/2 =9/2