Es gilt allg. für die Faltung $$ \mathcal{L} (f \star g) = F(s) \cdot G(s) $$ Angewendet auf Deine Aufgabe folgt mit
\( f(t) = \sin(t) \) und
\( h(t) = \frac{1}{2} t \sin(t) \)
$$ \mathcal{L} \left \{ \int_0^t \sin(t-u) g(u) du \right\} = F(s) \cdot G(s) = \mathcal{L} \left \{ \frac{1}{2} t \sin(t) \right \} = H(s) $$
Es gilt $$ F(s) = \frac{1}{1+s^2} $$ und $$ H(s) = \frac{s}{(s^2+1)^2} $$
Also gilt $$ G(s) = \frac{ H(s) } { F(s) } = \frac{s}{ s^2 +1 } $$ und damit folgt $$ g(t) = \mathcal{L^{-1}} \left \{ G(s) \right \} = \cos(t) $$
