Körper beweisen, Probleme beim Ansatz

Question

ich muss beweisen, dass Folgendes ein Körper bildet: ℚ(√2):={a+b√2|a,b∈ℚ}⊂ℝ. Mir wurde gesagt, dass ich nur das Neutralelement und das Inverses zeigen muss, da wir laut Skript wissen, dass ℚ ein Körper ist. Die Menge ist laut Aufgabenstellubg eine Teilmenge von ℝ und deshalb ist ℚ ein Körper. Jedoch möchte ich trotzdem wissen, wie das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz aussieht.

Ist mein folgender Ansatz zum Assoziativgesetz richtig?:

Addition: (a+b√2)+c=a+(b√2+c)

Multiplikation: Verstehe ich nicht

Kommutativgesetz:

Addition: a+b√2=b√2+a

Multiplikation: (a+b√2)(c+d√2)=(c+d√2)(a+b√2) so?

Distributicgesetz: a(b+c√2)=ab+ac√2 weiter weiß ich nicht.

Kann mir bitte jemand helfen? :)

Comments

Da geht ja Einiges durcheinander.

z.B. Kommutativität der Addition bedeutet

\((u+v\sqrt{2})+(w+x\sqrt{2})=(w+x\sqrt{2})+(u+v\sqrt{2})\)

und z.B. Assoziativität der Multiplikation bedeutet

\(((u+v\sqrt{2})(w+x\sqrt{2}))(y+z\sqrt{2})=\)

\(=(u+v\sqrt{2})((w+x\sqrt{2})(y+z\sqrt{2}))\)

Willst du das wirklich alles nachprüfen ???

---

Eigentlich wollte ich es einfach nur für die Klausur üben, falls sowas ähnliches drankommt :) ich danke für Ihren Ansatz!

Answer 1

Hallo

es ist reine Schreibarbeit: Aber wenn du das allgemein machen willst musst du es schon alles mit (a+b√2) und (c+d√2) machen. aber wie ja schon gesagt wurde ist das unnötige Arbeit da das ja auch reelle Zahlen sind und du da alles Schin weisst. das Inverse der Addition ist klar, das der Multiplikation findest du in dem du (a+b√2)*(a-b√2) durch das Ergebnis teilst

Gruß lul

Comments

Okay dankeschön! :)