gut für die Aufgabe 4 solltest du eine eigene Frage aufmachen.
a)
Grundgedanke: Wenn du eine ganze Zahl durch \(m \in \mathbb{Z}\) teilst, kann als Rest nur \(0, 1, \dots, |m-1| \) rauskommen. (Konsultiere euren Satz über Division mit Rest).
Benutze deine Definition um damit zu folgern, dass es ein vollst. Repräsentantensystem ist von \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\).
Das sind \(|m|\) verschiedene Reste, deswegen gibt es also nur \(|m|\) verschiedene Äquivalenzklassen.
Ist \(m = 5\) so ist \([99] = [4] \). Außerdem ist \([4]^2 = [1] \) und somit \([99]^{99} = [4] \).
b) \(m\) keine Primzahl, d.h. es ex. natürliche Zahlen \(d,n > 1\) mit \(dn = m\). Was ist nun \([dn] = ?\).
Für den letzten Teil: Überlege dir wie \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\) für \(m\in \{0,1\} \) aussehen könnte.
Gruß
