Beweis mit Ringen und Körper

Question

Es sei \( \mathbb{K} \) ein Körper, \( n \in \mathbb{N} \) und

\( T_{n}(\mathbb{K}):=\left\{A \in \mathbb{K}^{n \times n} \mid a_{i j}=0 \text { für alle } i, j \in\{1, \ldots, n\} \text { mit } i>j\right\} \)

die Menge der oberen Dreiecksmatrizen. Zeigen Sie:
a) \( T_{n}(\mathbb{K}) \) ist ein Ring mit Eins bezüglich der üblichen Addition und Multiplikation von Matrizen.
b) Für alle \( k \in\{1, \ldots, n\} \) ist \( \phi_{k}: T_{n}(\mathbb{K}) \rightarrow \mathbb{K},\left(a_{i j}\right) \mapsto a_{k k} \) ein Ringhomomorphismus.

Answer 1

Zu a)

bezüglich der üblichen Addition und Multiplikation von Matrizen

Damit nehme ich an, dass Assoziativgesetz für Addition und Multiplikation, bzw. Kommutativgesetz für die Addition und die Distributivitätsgesetze (links- und rechtsseitig) bereits bewiesen wurden.

Weiter gibt es zu jeder \(M=(m_{ij})\in T_{n}(\mathbb{K})\) das bzgl. Addition inverse Element \(M'=(-m_{ij})\in T_n(\mathbb{K})\).

Das bzgl. Addition neutrale Element ist dann offenbar \(E_+ = (e_{ij})\in T_n(\mathbb{K})\) mit \(\forall i,j\in \{1,...,n\}: \ e_{ij}=0\).

Damit ist \((T_n(\mathbb{K}), +)\) eine abelsche Gruppe.

Bezüglich Multiplikation gibt es das neutrale Element \(E_{\cdot}=(e_{ij})\in T_n(\mathbb{K})\) mit \(\forall i\in \{1,...,n\}: \ e_{ii}=1\).

Damit ist \((T_n(\mathbb{K}),\cdot)\) ein Monoid.

Da zusätzlich die Distributivitätsgesetze gelten, ist \((T_n(\mathbb{K}), +, \cdot)\) ein Ring mit Einselement.

Zu b)

Vorab: Für zwei beliebige Matrizen \(M=(m_{ij}),N=(n_{ij})\in T_n(\mathbb{K})\) sowie \(T=M\cdot N = (t_{ij})\in T_n(\mathbb{K})\) gilt:

\(t_{ii}=\sum\limits_{j=1}^n m_{ij} \cdot n_{ji} = \sum\limits_{j=1}^{i-1} m_{ij}\cdot n_{ji} + m_{ii}\cdot n_{ii} + \sum\limits_{j=i+1}^{n} m_{ij}\cdot n_{ji}\) für alle \(i\in \{1,...,n\}\).

Wegen \(m_{ij}=0\) für \(i>j\) folgt dann \(\sum\limits_{j=1}^{i-1} m_{ij}\cdot n_{ji}=0\) und analog folgt wegen \(n_{ij}=0\) für \(i>j\), d.h. \(n_{ji}=0\) für \(j>i\) dann \(\sum\limits_{j=i+1}^{n} m_{ij}\cdot n_{ji}=0\).

Entsprechend gilt also \(t_{ii} = m_{ii}\cdot n_{ii}\).

Es handelt sich bei \(\phi_k\) für jedes \(k\in \{1,...,n\}\) offenbar um eine Abbildung zwischen zwei Ringen (\(T_n(\mathbb{K})\) ist wg. a) ein Ring, \(\mathbb{K}\) per Definition als Körper).

Es gilt zusätzlich offenbar für alle \(M=(m_{ij}),N=(n_{ij})\in T_n(\mathbb{K})\):

\(\phi_k(M+N)=\phi_k((m_{ij})+(n_{ij})) = \phi_k((m_{ij}+n_{ij})) = m_{kk}+n_{kk} = \phi_k((m_{ij})) + \phi_k((n_{ij})) = \phi_k(M)+\phi_k(N)\)

und (vgl. oben)

\(\phi_k(M\cdot N) = \phi_k((m_{ij})\cdot (n_{ij})) = m_{kk}\cdot n_{kk} = \phi_k((m_{ij}))\cdot \phi_k((n_{ij})) = \phi_k(M)\cdot \phi_k(N)\)

Damit ist \(\phi_k\) für alle \(k\in \{1,...,n\}\) ein Ringhomomorphismus.