Beweis zu Primzahlen und Ringen

Question

Aufgabe:

Seien \( p \) eine Primzahl und \( R:=\left\{\frac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb{Z}, p\right. \) teilt nicht \( \left.b\right\} \subseteq \mathbb{Q} . \) Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(1) \( R \) ist ein Teilring von \( \mathbb{Q} \).

(2) Die Menge \( I:=\left\{\frac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb{Z}, p\right. \) teilt \( \left.a\right\} \) ist ein Ideal von \( R \).

(3) Es ist \( R^{\times}=R \backslash I \).

Comments

Überlege ob \(0\) und \(1\) in \(R\) liegen und zeige, dass \(R\) unter Addition und Multiplikation abgeschlossen ist.

Answer 1

Zu (1):

Wenn \(p\) weder \(b_1\) noch \(b_2\) teilt, dann teilt \(p\) auch nicht \(b_1b_2\),

da \(p\) eine Primzahl ist.

Folglich gilt für \(a_1/b_1,\; a_2/b_2 \in R\):

\(a_1/b_1+a_2/b_2=(a_1b_2+a_2b_1)/(b_1b_2)\in R\) und

\(a_1/b_1\cdot a_2/b_2=(a_1a_2)/(b_1b_2)\in R\),

also ist \(R\) bzgl. Addition und Multiplikation abgeschlossen.

Ferner ist offenbar \(1=1/1\in R\).

Zu (2):

Offensichtlich gilt \(I=pR\), also das von \(p\) erzeugte Hauptideal.

Zu (3):

Für \(a/b\in R\) gilt

\(a/b\in R^*\iff b/a\in R\). Das ist genau dann der Fall, wenn \(p\) nicht \(a\) teilt,

d.h. \(a/b\in R \backslash I \).