Zeigen Sie, dass ⟨{f,g}⟩ = ℝ[x]

Question

Aufgabe:

Seien f = 3x² + 3x +5 und g = x² + x Elememte von ℝ_[x] . Zeigen Sie, dass ⟨{f,g}⟩ = ℝ_[x]

Problem/Ansatz:

Bei dieser Aufgabe fehlt mir leider der Ansatz, würde mich freuen wenn ihr mir helfen könntet.

Comments

Hallo

hast du irgendeine Definition für ⟨{f,g}⟩ das äußere sieh aus wie ein Skalarprodukt ??

Gruß lul

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Das äußere steht für ein Erzeugendensystem.

Im Prinzip müsste man glaub ich zeigen, dass das Einselement in ⟨{f,g}⟩ liegt. Sei I ein Ideal von R mit 1 ∈ I, dann folgt ja I = R. Ich weiß aber nicht so Recht wie das funktionieren soll.

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Achso Antwort nicht gesehen, aber trotzdem:

Berechne einfach mal den ggT der Polynome. Und denke an Darstellungen der Form

ggT(a,b)=u*a+v*b

Dein Ansatz an sich ist gut.

Answer 1

Hallo

also musst du anscheinend nur zeigen, dass a*f +b*g wieder in R[x] liegt?  ausserdem : f-3g=5 also liegt das 1 Element im Erzeugendensystem.  die 0 sowieso mit 0*g oder 0*f

aber dass da steht  = R[x]  s das ehe ich nicht, das sind ja Polynom bis zum Grad 2, dazu brauchte man  3 Basisvektoren, also wird nicht ganz R_2[x] erzeugt, nur ein Unterraum

Gruß lul

Comments

Ja, soweit ich das verstehe ist das zu zeigen. R[x] soll in dem Fall ein Ring sein.

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Mir ist noch nicht ganz klar wie du darauf kommst das aus f-3g =5 folgt, dass das Einselement im Erzeugendensystem liegt

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Hallo

dann  nimm 1/5*(f-3g) mit x ist immer auch r*x im VR.

lul

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Stimmt, danke dir.