Vollständige Induktion mit geometrischer Reihe (komplexe Zahlen)

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion für alle \( n \in \mathbb{N} \) und \( q \in \mathbb{C} \backslash\{1\} \), dass \( \sum \limits_{j=0}^{n} q^{j}=\frac{q^{n+1}-1}{q-1} . \)

Problem/Ansatz:

Ich habe Probleme mit dem Induktionsanfang.

-Muss ich beide getrennt einsetzten oder immer gleichzeitig ? -ist 1+i erlaubt, weil es ≠1 ist oder gar nicht, weil die 1 nicht vorkommen darf?

Meine Herangehensweise:

n=1 , q=2+1

Summe von j=0 bis n=1 Σ (2+i)^1 = 2+i

q⁽ⁿ⁺¹⁾-1/(q-1)  = (2+i)²-1/(2+i-1) = 3+4i/(1+i)

--> Ind.Anfang gescheitert, weil nicht gleiches Ergebnis

Wo liegt mein Fehler?

Comments

Wieso setzt du für q irgendwas ein? q ist doch eine beliebige komplexe

Zahl ungleich 1. Du machst eine Induktion nach n, nicht nach q.

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oh,ok. Das war mir nicht klar.

Würde es dann wie folgt aussehen:

n=1   \( \sum\limits_{j=0}^{1} \)  q¹= q²-1/(q-1)

--> q≠q-1 (Rechnung: \( \frac{q^2}{q} \)-1 = q-1)

Irgendwas mach ich leider immer noch falsch...

Frage:

Ist der Anfang hier so richtig?:

\( \sum\limits_{j=0}^{1} \)  q¹ oder müsste er so so sein, also angefangen bei j=0 \( \sum\limits_{j=0}^{1} \)  q⁰

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Du wertest die Summen falsch aus. Hier Beispiele,

wie es richtig geht:$$n=0:\;\sum_{j=0}^0 q^j=q^0=1$$$$n=1:\;\sum_{j=0}^1 q^j=q^0+q^1=1+q$$

Allgemeines \(n\):$$\sum_{j=0}^n q^j=1+q+\cdots+q^n$$

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oh, sorry. Danke für die Erklärung.

Warum ist das dann immer noch so?

1+q ≠ q-1

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Für \(n=1\) ist die rechte Seite \(=\frac{q^2-1}{q-1}=\frac{(q+1)(q-1)}{q-1}=q+1\),

also alles stimmig !

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Ohje, die Binomische Formel ist mir gar nicht aufgefallen.

Jetzt kann aber wenigstens mal probieren weiter zu rechnen.

Danke!

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leider komm ich beim Induktionsschritt nicht ganz auf das Ergebnis.

\( \begin{aligned} \sum \limits_{j=0}^{n+1} q^{j} &=\sum \limits_{j=0}^{n} q^{j} \cdot q^{n+1} \\ \frac{q^{n+2}-1}{q-1} &=\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \cdot q^{n+1} / \cdot q-1 \\ q^{n+2}-1 &=(q^{n+1}-1 )\cdot q^{n+1} \\ &=\left(q^{n+1}-1\right) \cdot q^{n+1}  /Klammer erweitern mit\cdot q^{n+1} \\ &=\left(\frac{q^{2 n+1}}{q^{n+1}}-1\right) \cdot \ q^{n+1} \\ &=\left(q^{n+2}-1\right) \cdot \ q^{n+1} \end{aligned} \)

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Da es sich um eine Summe handelt, kommt beim Induktionsschritt

kein Faktor, sondern ein n+1-ter Summand dazu. Habe den Induktionsschritt

als Antwort geschrieben.

Answer 1

Induktionsschritt:

\(\sum_{j=0}^{n+1} q^j=\textcolor{red}{\sum_{j=0}^n q^j}+q^{n+1}=\quad\) IV anwenden:

\(=\textcolor{red}{\frac{q^{n+1}-1}{q-1}}+q^{n+1}=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}+\frac{q^{n+1}(q-1)}{q-1}=\)

\(=\frac{q^{n+1}-1+q^{n+2}-q^{n+1}}{q-1}=\frac{q^{n+2}-1}{q-1}\).

Comments

Was genau ist nochmal die Induktionshypothese?. Wir sollen sie am Ende immer besonders hervorheben und den Zusammenhang zeigen.

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Das siehst du doch an der Rechnung :-(

(IV): \(\sum_{j=0}^n q^j=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\)

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Habe die Verwendung der IV rot hervorgehoben.

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ja die Hypothese müsste ja das sein: \( \sum\limits_{j=0}^{n+1} \)q^j=\( \sum\limits_{j=0}^{n} \)q^j+qⁿ⁺¹ unter Verwendung der Voraussetzung.

Das Ergab das:

qⁿ⁺²-1/(q-1). Also was zu zeigen war(Behauptung)

Trotzdem hat das die letzten Male nicht gereicht.

ich hätte das irgendwie nochmal verdeutlichen sollen.

Ich weiß aber nicht genau wie.Es reicht doch das = Zeichen, dass das Ergebnis gleich der Hypothese ist.

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Danke die rote Markierung hilft:) Ich glaube so war das auch gemeint.