QR-Zerlegung bestimmen aber wie?

Question

Aufgabe:

(i) Bestimmen Sie eine QR-Zerlegung der Matrix
\( A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 0 & 2 \\ 1 & 4 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \)
(ii) Lesen Sie eine Orthonormalbasis des Bilds von \( A \) ab, indem Sie das Ergebnis aus (i) benutzen.

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe Probleme bei der QR Zerlegung, ich versuche mal mein Vorgehen zu erklären.

1) \( j=1 \longrightarrow A^{\prime(j-1)}=A^{\prime(0)}=A \)

Das wäre der erste Schritt

Für V⁽¹⁾  ich die Norm von der ersten Spalte also \( \sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}+0^{2}}= \)

Danach komme ich aber nicht weiter. Ich muss wohl V(1) T * V(1) rechnen? Aber dann hört es schon auf mit meinen Verständnis

Comments

Es gibt nur ein Element, das es zu eliminieren gilt. Da bietet sich eine Givens-Rotation an.

Answer 1

Hallo,

Deinen 'ersten Schritt' verstehe ich überhaupt nicht. Wie heißt das Verfahren, welches Du dort benutzt?

Arsinoë4 schrieb:

Es gibt nur ein Element, das es zu eliminieren gilt. Da bietet sich eine Givens-Rotation an.

so ist das! Das \(\rho\) für das Element \(a_{2,1}\) ist \(\rho = \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt 2\) und folglich ist die Matrix \(G_{1,2}\)$$G_{1,2} = \begin{pmatrix}\frac12\sqrt 2& \frac12\sqrt 2& 0& 0\\ -\frac12\sqrt 2& \frac12\sqrt 2& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{pmatrix}$$und $$G_{1,2} \cdot A =\begin{pmatrix}\sqrt 2& \frac32\sqrt 2& 2\sqrt 2& \frac12\sqrt 2\\ 0& \frac52\sqrt 2& 2\sqrt 2& -\frac32\sqrt 2\\ 0& 0& -1& -1\\ 0& 0& 0& 1\end{pmatrix}$$und somit ist$$A = \underbrace{G_{1,2}^T}_{=Q} \cdot \underbrace{\left(G_{1,2} \cdot A\right)}_{=R}$$Gruß Werner

Comments

Wie heißt das Verfahren, welches Du dort benutzt?

Sollte wohl eine Householder-Spiegelung werden.