Aufgabe:
Verstehe nicht wie ich bei Beta auf x1 kommen soll
a) Es sei \( \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)^{T} \in \mathbb{R}^{3} \), und
\( A=\left[\vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{a}_{3}\right]=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \)
sei eine invertierbare Matrix. Das bedeutet, dass das Lineare Gleichungssystem
\( A \vec{x}=\vec{b} \)
genau eine Lösung \( \vec{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T} \) hat. Wir wollen 'Formeln' für die Lösungskomponenten \( x_{1}, x_{2}, x_{3} \) des LGS herleiten.
(i) \( \alpha) \) Berechnen Sie das Matrix-Produkt \( \left[\vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{a}_{3}\right] \cdot\left[\vec{x}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right] \), also
\( \left(\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right)\left(\begin{array}{lll} x_{1} & 0 & 0 \\ x_{2} & 1 & 0 \\ x_{3} & 0 & 1 \end{array}\right) \)
und vereinfachen Sie das Ergebnis unter Verwendung von (1).
\( \beta) \) Wenden Sie 'det' auf Ihre Gleichung aus \( \alpha \) ) an und dann den Determinantenproduktsatz. Eine der Determinanten lässt sich ausrechnen, und so bekommen Sie eine 'Formel' für \( x_{1} \) (in der gewisse Determinanten vorkommen).
(ii) Leiten Sie auf ähnliche Weise auch Formeln für \( x_{2} \) und \( x_{3} \) her. (GGf. ist ' \( x_{3} \) ' etwas leichter als ' \( x_{2} \) '.)
