Ist folgende Relation symmetrisch, wann ist sie transitiv und wann reflexiv?

Question

Hallo ich habe noch eine Frage und zwar zu dieser Aufgabe. Ich möchte gleich sagen, das es sich um eine Ausführliche Frage handelt, da ich bisher nichts verständliches dazu gefunden habe. Und zwar hier ist einmal die Aufagabe

Sei A := {1,2,3};

R := {(1,1), (1,2), (1,3), (3,3)}
S := {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3)}
T := {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3)}
U := { }
V := A²

Welche dieser Relationen auf A² := A × A ist reflexiv, welche ist symmetrisch und welche ist transitiv.

Wann ist eine Relation symmetrisch, wann ist sie transitiv und wann reflexiv? Wie kann ich das einfach erkennen? Hat vielleicht jeman dazu ein paar einfache Beispiele, die mir das verständlich erklären könnten?

Ich hoffe ich habe jetzt niemanden überrumpelt, aber ich denke mal es weiß sicherlich jemand. Danke jetzt schon mal für eure Hilfe!

Answer 1

Sei A := {1,2,3};

R := {(1,1), (1,2), (1,3), (3,3)}  nicht reflexiv, weil (2,2) fehlt. Bei

reflexiv müssen alle von Typ (x,x) mit x∈A dabei sein.

nicht symmetrisch denn (1,2) ist da, aber nicht (2,1)

aber transitiv, denn wenn (x,y) und (y,z) dabei sind, dann auch (x,z)

z.B.  (1,1), (1,2)  und (1,2)

mit (1,2) beginnen klappt nicht, da keiner mit 2 beginnt etc.

S := {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3)}  reflexiv und symmetrisch und transitiv
T := {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3)} nicht reflexiv (3,3)!

                            nicht symmetrisch (1,2) aber nicht (2,1)

             nicht transitiv (1,2) und (2,3) aber nicht (1,3)
U := { }   nicht reflexiv aber symmetrisch und transitiv.

Comments

Danke für die Mühe, dass kann ich nun auf nachfolgende Beispiele anwenden!

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Wobei ich hab doch noch eine Frage (hoffentlich kommt das noch an, weil ich die Frage glaub ich schon geschlossen habe). Warum ist bei S die Funktion auch transitiv? Du hast ja oben geschrieben transitiv ist x,y y,z und x,z , jetzt kommt aber hier nur x,y (1,2) und (y,x) 2,1 vor?

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Du kannst alle Fälle durch probieren und die klappen alle, etwa

(1,2) und (2,1) dann muss auch dabei sein (1,1) und das ist so .

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Ok, und wäre dann zum Beispiel in einer Relation (2,3) und (3,2), so müsste auch (2,2) vorkommen?

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Ja genau so ist es.

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Super, dann habe ich hier den unterschied einmal verstanden!