zweifach differenzierbar und f'' positiv

Question

Aufgabe:

Sei f in ℝ zweifach differenzierbar mit f(0) = f'(0) = 0 und ∀x∈ℝ : f''(x)≥0
a) Zu Zeigen, dass f(x)≥0

b) Zu Zeigen, dass ein c∈ℝ mit c>1 existiert, sodass für alle k∈ℝ mit k>1 gilt

0 ≤ f(\( \frac{1}{k} \))≤ \( \frac{c}{k^2} \)

Answer 1

Sei f in ℝ zweifach differenzierbar mit f(0) = f'(0) = 0 und ∀x∈ℝ : f''(x)≥0
a) Zu Zeigen, dass f(x)≥0

1. Fall x=0 , da ist ja schon in der Vor. f(0)=0≥0 gegeben.

2. Fall x>0 . ==>  (Mittelwertsatz für f ' ) Es gibt ein z zwischen 0 und x mit

   ( f ' (x)-f ' (0) ) / ( x-0) = f ' ' (z) ≥ 0

also   ( f ' (x)- f ' (0) ) / x ≥ 0    wegen x>0 auch

               f ' (x)-f ' (0)  ≥ 0    wegen f ' (0)=0

                         f ' (x) ≥ 0

Also für alle x>0 auch f ' (x)  ≥ 0   .

Dann Mittelwertsatz auf f anwenden:

               ( f (x)-f (0) ) / ( x-0) = f ' (z) ≥ 0

so folgt wie oben f(x) ≥ 0   .

Analog der Fall x<0 .  Da ergibt sich im ersten Teil f ' (x) ≤ 0

und dann im 2. Teil f(x)≥0.