Relation zwischen zweifach stetig differentierbare Funktionen zeigen

Question

Es seien \( f, g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \) zweifach stetig differenzierbare Funktionen. Beweisen Sie die Identität

\( \int \limits_{V}\left(f \nabla^{2} g+\nabla f \cdot \nabla g\right) \mathrm{d} V=\int \limits_{\partial V} f \nabla g \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} \)
Hierbei bezeichnet \( V \) das Volumen, über welches integriert wird.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen? Ich weiß leider überhaupt nicht, wie ich es beweisen soll.

Answer 1

Kennst du den Gausschen Integralsatz? Aus diesem folgt die Aussage direkt (bestimme die Divergenz von \(f \nabla g\))

Comments

Danke, erstmal für deine Hilfe. Ja das war mir auch schon klar, allerdings weiß ich nicht so ganz, wie die das Beweisen soll.

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Wie schon gesagt, berechne die Divergenz von \(f \nabla g\) und du wirst sehen, dass es genau die linke Seite ist. Der Satz von Gauss gibt dir dann die Gleichheit dieser Integrale.

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OK, aber ich weiß leider nicht, wie ich die Divergenz, davon berechnen soll. Wie man die Divergenz von einer Funktion bestimmt, weiß ich zwar, allerdings nicht, so wie es hier der Fall ist. Kann aber auch sein, dass ich es falsch interpretier.

Answer 2

Aloha :)

Wenn du die Produktegel für die Divergenz$$\operatorname{div}(\varphi\cdot\vec A)=\left(\operatorname{grad}\varphi\right)\cdot\vec A+\varphi\cdot(\operatorname{div}\vec A)$$auf \(\varphi=f\) und \(\vec A=(\operatorname{grad}g)\) anwendest$$\operatorname{div}(f\cdot(\operatorname{grad} g))=\left(\operatorname{grad} f\right)\cdot(\operatorname{grad} g)+f\cdot(\operatorname{div}(\operatorname{grad} g))$$das Resultat in die Nabla-Schreibweise überührst$$\vec\nabla(f\vec\nabla g)=\vec\nabla f\,\vec\nabla g+f\,\vec\nabla^2g$$und darauf den Gauß'schen Satz \((dV\vec\nabla=d\vec f)\) anwendest$$\int\limits_V\left(\vec\nabla f\,\vec\nabla g+f\,\vec\nabla^2g\right)dV=\int\limits_V\vec\nabla(f\vec\nabla g)\,dV=\int\limits_V dV\vec\nabla\,(f\vec\nabla g)=\oint\limits_{\partial V}d\vec f\,(f\vec\nabla g)$$steht die Behauptung da ;)