Minimalen Fehler rausfinden

Question

Aufgabe:

Eine unbekannte Größe \( x \in \mathbb{R} \) wird \( n \)-mal gemessen. Es ergeben sich Messwerte \( a_{1}, \ldots, a_{n} \in \) \( \mathbb{R} \). Der mittlere quadratische Fehler ist durch

\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n}\left(x-a_{k}\right)^{2} \)

gegeben. Für welches \( x \in \mathbb{R} \) wird dieser Fehler minimal? Begründen Sie Ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

Weiß jemand wie man diese Aufgabe löst? Komme einfach nicht drauf. Vielen Dank.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Eine unbekannte Größe x \in \mathbb{R} wird n -mal gemessen.

Stichworte: extrema,zwischenwertsatz,ableitungen

Aufgabe:

(Extrema, ,,Zwischenwertsatz für Ableitungen")

Eine unbekannte Größe \( x \in \mathbb{R} \) wird \( n \)-mal gemessen. Es ergeben sich Messwerte \( a_{1}, \ldots, a_{n} \in \) \( \mathbb{R} \). Der mittlere quadratische Fehler ist durch
\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n}\left(x-a_{k}\right)^{2} \)

Danke im Voraus. :))

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Was möchtest du über den beschriebenen Sachverhalt wissen?

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Der Fehler ist gegeben. Für welches x ∈ R wird dieser Fehler minimal?( Dieser letzter Satz wurde irgendwie gelöscht :-I )

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das ist inzwischen die 3. gleich lautende frage

https://www.mathelounge.de/915834/minimalen-fehler-rausfinden

https://www.mathelounge.de/916131/fur-welches-wird-der-mittlere-quadratische-fehler-minimal

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@wächter - vielen Dank.

Answer 1

Aloha :)

Kandidaten für Extremwerte der Funktion$$f(x)=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n(x-a_k)^2$$sind die Nullstellen der ersten Ableitng:$$0\stackrel!=f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n(x-a_k)^2\right)=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n\frac{d}{dx}\left((x-a_k)^2\right)=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n2(x-a_k)$$Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit \(\frac n2\) erhalten wir als Bedingung:$$0\stackrel!=\sum\limits_{k=1}^n(x-a_k)=\sum\limits_{k=1}^nx-\sum\limits_{k=1}^na_k=n\cdot x-\sum\limits_{k=1}^na_k\quad\implies\quad x=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^na_k$$

Die gegebene Funktion \(f(x)\) wird also minimal, wenn \(x\) der Mittelwert aller \(\{a_k\}\) ist.

Das kann man auch anschaulich verstehen, wenn man das gefundene Resultat \(x=\mu\) in die Funktionsgleichung einsetzt:$$f(\mu)=\frac1n\sum\limits_{k=1}^n(\mu-a_k)^2=\frac1n\sum\limits_{k=1}^n(a_k-\mu)^2=\text{Varianz}(\{a_k\})$$Wir stellen fest, dass \(f(\mu\)) die Varianz der \(\{a_k\}\) liefert, die das Mimium der Summe der quadratischen Abstände von \(\mu\) repräsentiert.

Answer 2

Hallo

f(x) ableiten und 0 setzen findet das Minimum  \( 1/n \sum\limits_{k=1}^{\infty}{ ak}=\bar{a}\)  verwenden

Gruß lul

Answer 3

Vom Duplikat:

Titel: Für welches x E R wird der mittlere quadratische Fehler minimal?

Stichworte: extrema,zwischenwertsatz,ableitungen

Hey zusammen,

Hat mir jemand die Lösung für die folgende Aufgabe bzw. kann sie mir berechnen?

Bräuchte sie bis morgen. Würde auch ein kleines Dankeschön per PayPal zukommen lassen.

LG Leon

Aufgabe:

Eine unbekannte Größe \( x \in \mathbb{R} \) wird \( n \)-mal gemessen. Es ergeben sich Messwerte \( a_{1}, \ldots, a_{n} \in \) \( \mathbb{R} \). Der mittlere quadratische Fehler ist durch
\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n}\left(x-a_{k}\right)^{2}\)
gegeben. Für welches \( x \in \mathbb{R} \) wird dieser Fehler minimal? Begründen Sie Ihre Antwort.

Comments

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Answer 4

Du möchtest die Funktion \( f(x) \) minimieren, also kannst du z.B. erst einmal die Extremstellen finden. Die Ableitung ist
\(\begin{aligned} f^{\prime}(x)=\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} 2\left(x-a_{k}\right) \Longrightarrow f^{\prime}(x)=0 \Longleftrightarrow \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} 2\left(x-a_{k}\right)=0\end{aligned} \)
Nun kannst du nach \( x \) auflösen und erhältst
\(\begin{aligned} \frac{2}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} x-\frac{2}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k}=0 \Longleftrightarrow x_{0}=\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} .\end{aligned} \)
Jetzt bleibt natürlich noch zu überprüfen, ob dieses \( x \) auch wirklich ein Minimum ist. Die zweite Ableitung ist
\(\begin{aligned} f^{\prime \prime}(x)=2>0 \Longrightarrow x_{0} \text { ist ein Minimum. }\end{aligned} \)

Das mach natürlich auch intuitive Sinn, da \(x_0\) einfach das arithmetische Mittel aller gemessenen Werte ist.

(Verständnisfrage: Man hätte die zweite Ableitung garnicht berechnen müssen, um zu schliessen, dass der gefundene Punkt ein Minimum ist. Ein anderes Argument hätte auch gereicht, welches wäre das?)

Comments

Cool danke, schick mir gern deine PayPal Adresse zu.

LG

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Man sieht ja anhand der Funktion, dass sie quadratisch und positiv ist, deshalb muss man das den Punkt als Minimum nicht beweisen richtig ? :)

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Ja genau, du benutzt, dass die Funktion stetig ist und sie in beide Richtungen nach plus unendliche strebt.