Sei L/K eine endliche Galoiserweiterung und H⊂Gal(L/K) eine Untergruppe. Dann ist H=Gal(L^H /K)

Question

Aufgabe:

Ich habe hier eine Aufgabe und soll sagen ob sie wahr oder falsch ist:

Sei L/K eine endliche Galoiserweiterung und H⊂Gal(L/K) eine Untergruppe. Dann ist H=Gal(L^H /K)

Ich weiß aus dem Skript, dass aufjedenfall H=Gal(L/L^H ) ist, deshalb würde ich sagen, dass die Aussage falsch ist und außerdem L^H /K nicht galois ist.

Hat jemand noch eine bessere Begründung?

Answer 1

Die Untergruppen H der Galoisgruppem von L/K sind die Galoisgruppen von

L/L^H, so wie du schon sagtest. Die Aussage ist also falsch. Und in der Tat

muss L^H/K nicht galoissch sein (sondern nur, wenn H Normalteiler in G

ist und in solch einem Falle wäre G/H die zugehörige Galoisgruppe).

Die Elemente von H sind K-Automorphismen von L und nicht von L^H.