Sind meine Lösungen richtig? Exponentialfunktion ableiten

Question

Hallo Leute!

Könntet ihr kontrollieren, ob meine Lösungen richtig sind? Da sind außerdem zwei Aufgaben dabei, die ich nicht ganz verstehe. Hoffe ihr könnt mir da helfen!

Bilden Sie die 1. und 2. Ableitung:

a) f(x) = 3^x  

f'(x) = ln(3) * 3^x  

f''(x) = ln²(3) * 3^x

b) f(x) = 2 * 3^x

f'(x) = 2ln(3) * 3^x

f''(x) = 2ln²(3) * 3^x

c) f(t) = 1,02^t + t²           ????

d) f(x) = 2,5^x - 2,5 * 2^x             ????

Answer 1

Hallo,

a) und b) ist alles korrekt.

zu c) bei Summen kannst Du die Summanden einzeln und unabhängig von einander ableiten. Es ist$$1,02^t \to \ln(1,02) \cdot 1,02^t $$genau wie bei a) - also ist$$f(t)=1,02^t +t^2 \\ f'(t)= \ln(1,02) \cdot 1,02^t + 2t \\ f''(t)= \ln^2(1,02) \cdot 1,02^t + 2$$d) geht genauso. Wenn Du nicht klar kommst, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

d) f'(x) = ln(2,5) * 2,5^x + ln(2) * 2^x

Wie sieht das aus? Glaube das ist nicht richtig, oder?

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Glaube das ist nicht richtig, oder?

Ok ... warum glaubst Du das? Mal ganz langsam: der erste Summand ist $$s_1(x)=2,5^x$$Abgeleitet wird wie oben schon mehrfach geschehen:$$s_1'(x)=\ln(2,5)\cdot 2,5^x$$Der zweite Summand ist$$s_2(x)= -2,5\cdot 2^x$$Das \(2^x\) wird natürlich genauso abgeleitet wie gehabt und der Faktor \(-2,5\) wird immer nur mitgeschleppt, bleibt also 1.1 erhalten$$s_2'(x)= -2,5 \cdot \ln(2)\cdot 2^x\\\implies \text{d)} \quad f'(x)= \ln(2,5)\cdot 2,5^x -2,5 \cdot \ln(2)\cdot 2^x$$und mit den nächsten Ableitungen geht es immer so weiter. Die Faktoren davor bleiben immer erhalten und die Exponentialfunktion wird wie schon geübt abgeleitet$$ f''(x)= \ln^2(2,5)\cdot 2,5^x -2,5 \cdot \ln^2(2)\cdot 2^x$$

Answer 2

Hallo

die ersten 2 sind richtig

f(t) = 1,02^t + t^2       sind der erste Teil wie vorher also f'=f(t) = ln(1,02)1,02^t + 2*t     

entsprechend

f(x) = 2,5^x - 2,5 * 2^x             einfach immer benutzen a^x=e^x*ln(a),  deshalb (a^x)'=ln(a)*a^x

Gruß lul